关于Matrix的问题

Kyusuke_FD3S

各位高手,
小弟有一个关于Matrix的问题.

比如, Matrix A
A' 和 A''

请问这个 A' 是什么意识?
这个 A'' 又是什么意识?

一个问题,

Matrix A is a 3x3 matrix with eigenvalues 1,2 and 3.

Evaluate the determinant of B, if B = A' - 5 A

帮帮小弟, 请问答案是什么??

谢谢各位的回复

dunwan2tellu

我问别人，他们说可能

A' = A^T (transpose matrix) ?

这是他们的回答：

由于 3x3 matrix A 有3个不同的 eigenvalues , 所以 matrix A 可以被 diagonalized . i.e

    1 0 0
A = 0 2 0
    0 0 3

过后 A' 也和 A 一样（因为 transpose matrix 还是把它 map 回 A)

所以我们可以说 B 的 matrix 有 diagonal -4,-8,-12 (因为 1-5=-4,2-10=-8,3-15=-12)

从这里就不难得到 Det(B) = -4(-8)(-12) = - 384

大专的高手请帮忙看有没有问题。

bomber27

对了，刚刚在网上找到，A' = A^T。

http://meishan.ansci.iastate.edu ... 0010060000000000000

[ 本帖最后由 bomber27 于 11-7-2006 08:16 PM 编辑 ]

~HeBe~_@

你答得一点都没错，
若3X3 matrix就会有3个eigenvalues.....若4X4 matrix 就会有4个eigenvalues....
若matrix是diagonal matrix....,所以你就把main diagonal的-4，-8，-12相乘起来的到determinant..

若那个matrix是square upper triangular matrix 或是 square lower triangular matrix,你也可以从它的main diagonal相乘得determinant.

其他的大专生有任何意见吗？

bomber27

原帖由 ~HeBe~_@ 于 11-7-2006 09:40 PM 发表
你答得一点都没错，
若3X3 matrix就会有3个eigenvalues.....若4X4 matrix 就会有4个eigenvalues....
若matrix是diagonal matrix....,所以你就把main diagonal的-4，-8，-12相乘起来的到determinant..

若那个 ...

没错。
还有，determinant=Пeigenvalue
      trace＝∑eigenvalue

还有，如果matrix A有三个eigenvalue，分别是x，y，z。那，inverse of A的eigenvalue就是1/x , 1/y, 1/z

Kyusuke_FD3S

谢谢各位的帮助...

dunwan2tellu

原帖由 bomber27 于 11-7-2006 11:25 PM 发表


没错。
还有，determinant=Пeigenvalue
      trace＝∑eigenvalue

还有，如果matrix A有三个eigenvalue，分别是x，y，z。那，inverse of A的eigenvalue就是1/x , 1/y, 1/z

对了 , bomber27

inverse of A 的 eigenvalue = 1/x,1/y,1/z 的证明有吗？

bomber27

原帖由 dunwan2tellu 于 24-7-2006 07:17 PM 发表


对了 , bomber27

inverse of A 的 eigenvalue = 1/x,1/y,1/z 的证明有吗？

假设 A 是 diagonal matrix， A＝｛｛x，0，0｝，｛0，y，0｝，｛0，0，z｝｝
那 inverse of A 就是 A'＝｛｛1/x，0，0｝，｛0，1/y，0｝，｛0，0，1/z｝｝
所以 1/x，1/y，1/z是A' 的 eigenvalue

这样对吗？

dunwan2tellu

原帖由 bomber27 于 25-7-2006 12:13 AM 发表


假设 A 是 diagonal matrix， A＝｛｛x，0，0｝，｛0，y，0｝，｛0，0，z｝｝
那 inverse of A 就是 A'＝｛｛1/x，0，0｝，｛0，1/y，0｝，｛0，0，1/z｝｝
所以 1/x，1/y，1/z是A' 的 eigenvalue

这样对 ...

应该没有问题。这方法行吗？

Let Av = tIv , A = square matrix , v = eigenvector , t = eigenvalue

所以 A^(-1)v = t^(-1)v

因此 t^(-1) 是 A^(-1) 的 eigenvalue .

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 25-7-2006 02:53 PM 编辑 ]

bomber27

原帖由 dunwan2tellu 于 25-7-2006 02:49 PM 发表


应该没有问题。这方法行吗？

Let Av = tIv , A = square matrix , v = eigenvector , t = eigenvalue

所以 A^(-1)v = t^(-1)v

因此 t^(-1) 是 A^(-1) 的 eigenvalue .

可以吧，这方法真的很好。

dunwan2tellu

在 matrix 3x3 里，有 antisymmetry theorem ，也就是如果

        |a1 a2 a3|
det(A)= |b1 b2 b3|
        |c1 c2 c3|

那么

            |b1 a1 c1|
det(A) = -  |b2 a2 c2|
            |b3 a3 c3|

总来说就是如果把任意两行 column 或 row matrix 交换，那么它的 determinant 一定是原本的乘上一个 negative .

我的问题是，如何证明当 A 是 nxn matrix 时，这个 property 也成立？

其他的 properties 如 Tranpose theorem,Zero Column(Row) Theorem　对于所有的 square matrix 都成立。 i.e det(A) = det(A^T)


[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 29-7-2006 11:32 AM 编辑 ]

mictiong85

原帖由 dunwan2tellu 于 29-7-2006 11:30 AM 发表
在 matrix 3x3 里，有 antisymmetry theorem ，也就是如果

        |a1 a2 a3|
det(A)= |b1 b2 b3|
        |c1 c2 c3|

那么

            |b1 a1 c1|
det(A) = -  |b2 a2 c2|
            |b3 a3 c3 ...
我的问题是，如何证明当 A 是 nxn matrix 时，这个 property 也成立？

是的。你讲地没错。
你说讲的性质是能够用在任何matriks
你也是大专生吗？

dunwan2tellu

原帖由 mictiong85 于 29-7-2006 09:41 PM 发表

是的。你讲地没错。
你说讲的性质是能够用在任何matriks
你也是大专生吗？

还不是，明年将会是。
没错的话我已经证明到上面的 property 了，是用两个 consecutive column(row)来交换，证明有sign change . 然后再推广到 i th column & j th column 交换时也有 sign change .只是我想看看有没有其他方法证明。

另一个问题是如何证明

det(AB) = det(A)*det(B) ?

mictiong85

为什么不能paste 用mircosoft word做的数学证明？
只paste上一小部分了，很多地方不能paste。象determinant。。。。

dunwan2tellu

我通常是把它的file换去 pic ,然后再用 photobucket upload 上来。不知道其他人有没有更好的建议？

dunwan2tellu

Prove that if A , B are similar square matrices then they have the same eigenvalues .