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Problems in Elementary Number Theory
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本帖最后由 Lov瑜瑜4ever 于 3-2-2011 08:31 PM 编辑
Find the positive integers p,q and n such that p and q are prime numbers and
(1/p)+(1/q)+(1/pq)=1/n
我找到2set答案:(p,q,n)=(2,3,1) or (3,2,1)
还有其他组的答案吗?
如果没有的话又要怎样prove除了这2组的答案以外就没有其他的答案了呢〉? |
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发表于 3-2-2011 06:25 PM
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(1/p)+(1/q)+(1/pq)=1/n
pq=n(p+q+1)
where p & q are prime numbers
if n=1 then p,q=2,3
if n>1 then n|p or n|q
so (p+q+1)|p or (p+q+1)|q
impossible
so p & q can only be 2 & 3 |
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楼主 |
发表于 3-2-2011 08:30 PM
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(1/p)+(1/q)+(1/pq)=1/n
pq=n(p+q+1)
where p & q are prime numbers
if n=1 then p,q=2,3
if n>1 ...
puangenlun 发表于 3-2-2011 06:25 PM
我明白了。。。
可以问下你现在几岁在读什么吗? |
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楼主 |
发表于 3-2-2011 08:33 PM
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Let m and n be natural number such that
A=[(m+3)^n +1]/3m
is an integer. Prove that A is ODD. |
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发表于 4-2-2011 12:25 AM
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我的做法:
Given that :
A=[(m+3)^n +1]/3m
=> 3mA = (m+3)^n +1 which is odd ------ (1)
then 3mA - 1 = (m+3)^n is even
implies that (m+3) must be even, hence m can only be odd...
from (1):
3mA = (m+3)^n +1
3 is odd and m is odd => 3m is odd
hence,
A=[(m+3)^n +1]/3m = odd/odd => A must be odd.
感觉上我的 prove 不太完整,但是 idea 是有了 |
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楼主 |
发表于 4-2-2011 10:07 AM
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Let m and n be natural number such that
A=[(m+3)^n +1]/3m is an integer.
no matter what the val ...
puangenlun 发表于 4-2-2011 01:01 AM
我看不懂你这个解释:
for even number m, either m=6k+0,6k+2,6k+4
when k=0, only m=2 get integer A
when k>0, A has remainder 1,3,5
为什么m=6k+0,6k+2,6k+4呢?
6k+1,6k+3,6k+5不行?
还有为什么要写成6k+r的形式?
2k+r,4k+r...不行吗? |
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发表于 4-2-2011 12:18 PM
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錯,大錯特錯!這個證明是錯的,而且錯的很離譜!
這個問題我做不來,只得到如下的結果
1. m=2,n=2k+1 是一組解,但A的奇偶性不詳
2. 當m是奇數時,證明是顯然的。因此本題的關鍵是證明m為偶數的情況
3. 當m為偶數時,n必為奇數 |
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楼主 |
发表于 4-2-2011 12:25 PM
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錯,大錯特錯!這個證明是錯的,而且錯的很離譜!
這個問題我做不來,只得到如下的結果
1. m=2,n=2k+1 是 ...
puangenlun 发表于 4-2-2011 12:18 PM
我之前做到的是:
如果m是奇数,A必为奇数
如果m是偶数,A可以是奇数也可以是偶数
如果能证出当m是偶数的时候,A是偶数的时候会导致n不能为整数的时候,那么就等于prove出整个题目了。。。
我就是卡在这边== |
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发表于 4-2-2011 12:35 PM
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延伸這個問題:如果命題是對的,那麼如何求出m&n?
請問你的問題從何而來,或許解題線索就在其中。 |
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楼主 |
发表于 4-2-2011 01:51 PM
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延伸這個問題:如果命題是對的,那麼如何求出m&n?
請問你的問題從何而來,或許解題線索就在其中。
puangenlun 发表于 4-2-2011 12:35 PM
你是说这个问题从哪里看来得?
应该是一个数学比赛的题目吧。。。
我也不太清楚。。。阿哈哈 |
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发表于 5-2-2011 11:54 PM
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回复 4# Lov瑜瑜4ever
"Let m and n be natural number such that
A=[(m+3)^n +1]/3m
is an integer. Prove that A is ODD."
如果 m 是偶数的情况:
设 m = 2^s * t , s >= 1 , t = 奇数
(i) s > 1
试证明不可能找得到整数解 A
提示: 用反证。考 [(m+3)^n+1] = 0 (mod 3) 和 [(m+3)^n+1] = 0 (mod 2^s) 来得到 contradiction
(ii) s = 1
试证明如果 A 有解,则 A 是奇数
提示:试证明 [(m+3)^n+1] = 2 (mod 4) |
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楼主 |
发表于 15-2-2011 01:09 PM
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回复 Lov瑜瑜4ever
"Let m and n be natural number such that
A=[(m+3)^n +1]/3m
is an intege ...
dunwan2tellu 发表于 5-2-2011 11:54 PM
那个mod的我还没学。。。你可以大概说下是什么来的吗? |
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发表于 15-2-2011 02:13 PM
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本帖最后由 whyyie 于 15-2-2011 02:16 PM 编辑
回复 4# Lov瑜瑜4ever
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发表于 15-2-2011 03:46 PM
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回复 13# whyyie
一个偶数除以另一个偶数一定会是奇数吗? |
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发表于 15-2-2011 04:00 PM
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本帖最后由 whyyie 于 15-2-2011 04:03 PM 编辑
回复 14# Ivanlsy
对hor...我好像做错了.. |
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发表于 15-2-2011 04:03 PM
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回复 Ivanlsy
偶数除偶数是even number或fraction
奇数除奇数是odd number 或fraction
因为题目说A是整数, 所以偶数除偶数一定是偶数.
even x even = even
odd x odd = odd
even x odd = even
whyyie 发表于 15-2-2011 04:00 PM
既然偶数乘以奇数也是偶数, 那为什么偶数除以偶数一定要是偶数呢? |
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发表于 15-2-2011 04:06 PM
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回复 15# whyyie
不是错, 是证明得不够严谨.
你也没有证明奇数除以奇数和偶数除以偶数会是一个整数. |
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发表于 15-2-2011 07:47 PM
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回复 Lov瑜瑜4ever
"Let m and n be natural number such that
A=[(m+3)^n +1]/3m
is an intege ...
dunwan2tellu 发表于 5-2-2011 11:54 PM
根據提示,證明如下
1.When m=2*(2p+1)
((m+3)^+1)/3m
=((4p+5)^n+1)/(6(2p+1))
=((4(p+1)+1)^n+1)/(6(2p+1))
=(4(p+1)k+1+1)/(6(2p+1)) using binomial theorem
=(2(p+1)+1)/(3(2p+1))
= odd number
2.When m=(2^p)q, where p is integer greater than 1 and q is odd number
不會 |
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