有个问题

Ivanlsy

最近在读着 "Mathematical Olympiad Challenges" 这本书，
里面有提到一个技巧:



For an index k, fix a1,a2,...,ak-1,ak+1,...,an, and think of the given expression as a function in ak. This function is linear, hence its maximum on the interval [0,a] is attained at one of the endpoints. Repeating the argument for each variable, we conclude that the expression reaches its maximum for a certain choice of ak = 0 or a, k = 1,2,...,n.

If all ak's are equal to 0, or if two or more ak's are equal to a, the sum is 0. If one ak is a and the others are 0, the expression is equal to a^n; hence this is the desired maximum.


我觉得这个论证(上色那句)很不严谨。
有没有可能存在某一个数，使得这个表达式的值大于a^n，这点并没有很完整地被证明。

大家有什么看法？

[ 本帖最后由 Ivanlsy 于 20-11-2009 02:03 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

"有没有可能存在某一个数，使得这个表达式的值大于a^n"

不可能, 因为

a - a_i =< a  for any 1 =< i =< n

Ivanlsy

原帖由 dunwan2tellu 于 20-11-2009 03:06 PM 发表
"有没有可能存在某一个数，使得这个表达式的值大于a^n"

不可能, 因为

a - a_i =< a  for any 1 =< i =< n

要注意到是sum。
对于任意一个k，是不会大于a^n，如果是总和就不一定了。

[ 本帖最后由 Ivanlsy 于 20-11-2009 08:31 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

看错，不好意思

但他的 argument 没问题
那个 sum 的 expression 写法有一点错误，不过假设就如我们想的。

假设那个 sum with fix index k, S_k = f(a_k)

那么 f(a_k) 是一个 linear function 所以 max 在 a_k = 0 or a_k = a ,就只有两个可能性 for all k .

就因为这样，我们才可以说 repeat the argument for all k, 因为上面的句子“ f(a_k) 是一个 linear function ” is true for all k

Ivanlsy

原帖由 dunwan2tellu 于 20-11-2009 10:39 PM 发表
看错，不好意思

但他的 argument 没问题
那个 sum 的 expression 写法有一点错误，不过假设就如我们想的。

假设那个 sum with fix index k, S_k = f(a_k)

那么 f(a_k) 是一个 linear function 所以 max  ...

你想的sum是怎样？
也就是说题目表达方式有问题？

dunwan2tellu

a1(a-a2)(a-a3)...(a-an) + (a-a1)a2(a-a3)..(a-an) + (a-a1)(a-a2)a3(a-a4)...(a-an) + ... (a-a1)(a-a2)....(a-a_(n-1))an

Ivanlsy

原帖由 dunwan2tellu 于 20-11-2009 10:39 PM 发表
看错，不好意思

但他的 argument 没问题
那个 sum 的 expression 写法有一点错误，不过假设就如我们想的。

假设那个 sum with fix index k, S_k = f(a_k)

那么 f(a_k) 是一个 linear function 所以 max  ...

令f(ak) = (a - a1)(a - a2)...(a - ak - 1)ak(a - ak + 1)...(a - an)

设k = 1，且a2, a3, ... , an为任意定值。
当a1 = a 或 0时，f(a1)是极大值。

可是这不能保证f(a2)也会是极大值，
“说不定”a1 = a 或 0 会导致f(a2)是极小值？

如果真的发生这样的情况，
会不会存在某一个a1值，
使得f(a1) + f(a2) 大于原先a1 = a or 0 时的f(a1) + f(a2)?

puangenlun

我做了一下计算

可能的极值点应该是

a_1=a_2=a_3=...=a/n

极值是

a^n((n-1)/n)^(n-1)

不知道对不对

antimatter

对，可是(n-1)/n<1, ==> ((n-1)/n)^(n-1)<1，所以还是不能大于a^n。我证到了所有a_1=a_2=a_3=...=a/t, t=any number greater than 1 都不可能让那个sum 大过a^n。

Ivanlsy

原帖由 puangenlun 于 22-11-2009 11:43 AM 发表
我做了一下计算

可能的极值点应该是

a_1=a_2=a_3=...=a/n

极值是

a^n((n-1)/n)^(n-1)

不知道对不对

原帖由 antimatter 于 22-11-2009 03:16 PM 发表
对，可是(n-1)/n ((n-1)/n)^(n-1)

你们是通过软件计算的吗？
能不能提出进一步的证明呢？

puangenlun

我是将sum看成是a_1,...,a_n的function

然后做&#8706;y/&#8706;a_i

并且令&#8706;y/&#8706;a_i=0

得到n个方程，解这个方程组

算到a_1=...=a_n=a/n

问题是：我不确定这个是不是极值点

antimatter

我的很简单，把a/t 代进那个sum，然后differentiate 再等于零，找到的是t = n+1，可是a^n 的coefficient 还是小于1。

我用电脑软件画出了n=2, a=5 的curve，证实如果是n=2 的话，a1=0, a2=1 or a1=1, a2=0 是最大的值。

Puangenlun，原来你是那样做的啊，可是那个方程组不是很多很长吗？看了你的答案我有想到这个方法，可是好像很恐怖，所以我只做n=2 的，结果是a1=a2=a/2。

dunwan2tellu

不会，因为 a1,a2...,an 是 independent 的。

我拿一个比较小的例子 n = 2

S = a1(a-a2) + (a-a1)a2

当 a2 fix 时候，你会看到 S 是一个 linear function of a1, 而且我们知道 linear function max 在 endpoint.
注意到这里我们说 a2 是 fix ,但是其实他是 arbitrary 的。也就是说不论 a2 是什么fix number，我们要 maximise 的 a1 还是锁定在 end point.

所以整个sum的 maximum一定当 ai 都在 end point 时候

@puangenlun
a1=a2=a3=...a=n= a/n 只不过是一个 turning point, 不是任何 critical point.

puangenlun

antimatter, 可以看看你的图吗？

dunwan2tellu,你是怎样知道这是turning point 而不是critical point的？这个turning point有什么意义/含义？

dunwan2tellu

你用的方式是 Langrange Multiplier method 来找 max min, 但是这方式还要配合找 boundary point 才能比较 max min.

为何是 turning point? 不就因为 &#8706;y/&#8706;a_i=0 for all i

antimatter

我不懂怎么attach图片......

antimatter

这是n=2, a=5；axis 是a1, a2 和 sum。

puangenlun

这个图很有考察意义

只是图形是立体的

在论坛的平面上很难看清楚 看明白

能不能把它转换成平面的，带有colour bar 的那一种

会比较容易看清楚

【我还在找matlab来download，否则可以亲自做来看看】

antimatter

puangenlun

这张图很有意义，它让我明白(a/2,a/2)这个 critical point 在这里的意思

在 x∈ [0,a] 上截出线段(x,0)-(x,a)，就可以发现到
x∈ [0,a/2] 时，max(f)=f(x,a)∈ [a^2/2,a^n]
x=a/2时， f(x,y)=a^2/2 是 constant
x∈ [0,a] 时，max(f)=f(x,0)∈ [0,a^2/2]

同理，对于 y-axis 也有类似的结论

看了n=3的形式
x(a-y)(a-z)+(a-x)y(a-z)+(a-x)(a-y)z=a^2(x+y+z)-2(xy+yz+zx)+3xyz

我猜想f(x,y,z)的极大值点应该是(a,0,0)，(0,a,0)，(0,0,a)
极大值为a^3

更一般地
f(a_1,...,a_n)有n个极大值点，分别是(a,0,...,0),... ...,(0,...,0,a)
极大值为a^n

这样需要证明f<=a^n
期待各位接力

[ 本帖最后由 puangenlun 于 26-11-2009 04:04 PM 编辑 ]