请教 series

tensaix2j

想请教一题series
我有一个series ,

已知 Tn = ((n+2)(n+3))/2

求  Sn 的公式。 （sum of first n term）


note： Sn 的公式不可以是recursive的形式。还有最好不要有 "..." 的部分，
因为最后要用来算 S50000 .
有办法吗。谢谢。

flash

原帖由 tensaix2j 于 17-8-2009 01:46 PM 发表
想请教一题series
我有一个series ,

已知 Tn = ((n+2)(n+3))/2

求  Sn 的公式。 （sum of first n term）


note： Sn 的公式不可以是recursive的形式。还有最好不要有 "..." 的部分，
因为最后要用来 ...

Sn = [(n+2)(n+3)/2] = [(1/2)n^2 + (5/2)n + 3] =(n^3 + 9n^2 + 26n)/ 6

S50000 =  20837083550000

[ 本帖最后由 flash 于 17-8-2009 03:03 PM 编辑 ]

tensaix2j

谢谢，我都忘了可以这样拆的。。

tensaix2j

其实我在想怎么公式化这个有两个parameter的涵数
这里每一格都是 (左边+ 上方 + １) (除了顶排和左排)
  
   1    3    7    15    ...  (2^n)-1
   2    6    14    ...
   3    10   25   
   4    ...  ...
  ...   ...        
  ...   ...
  n    ((n+1)(n+2))/2   

基本上 r=row ,c = column, for r>1,c>1
   F(r,c) = F(r,c-1) + F(r-1,c)

可是如果 不是recursive 的形式的话
  F(r,c)的公式 是什么

mathlim

是 F(r,c) = F(r,c-1) + F(r-1,c) + 1 吧？

tensaix2j

是的。
看看有办法吗。。

mathlim

初步研究，好像是有关高阶等比。
这不在我的能力范围，我有空才试试！

mathlim

再稍为研究之下，
又发现高阶等差。
应该可以推导出来了！
但还是得等我有时间。

mathlim

昨天去吉隆坡，
在巴士上没有其它事务缠身，
我终于可以好好的整理出来了。

F(m, n)
= 2^m – 1
+ n-1C1 × (1 + mC1 + mC2 + … … + mCm-1)
+ n-1C2 × (1 + mC1 + mC2 + … … + mCm-2)
+ n-1C3 × (1 + mC1 + mC2 + … … + mCm-3)
…
…
+ n-1Cm-2 × (1 + mC1 + mC2)
+ n-1Cm-1 × (1 + mC1)
+ n-1Cm

m for column, n for row.

[ 本帖最后由 mathlim 于 23-8-2009 06:50 AM 编辑 ]

mathlim

例：
F(3,4) = 2^3 – 1 + 3C1×(1+3C1+3C2)+ 3C2×(1+3)+ 3C3
            = 7 + 21 + 12 + 1
            = 41

F(6,5)
= 2^6 – 1
+ 4C1×(1+6C1+6C2+6C3+6C4+6C5)
+ 4C2×(1+6C1+6C2+6C3+6C4)
+ 4C3×(1+6C1+6C2+6C3)
+ 4C4×(1+6C1+6C2)
= 847

[ 本帖最后由 mathlim 于 23-8-2009 07:28 AM 编辑 ]