中学数学讨论区-限于课业的问题

BluStAr

小女现在中六，数学上遇到一些问题，没人教，各位可不可以教我？？
其实很简单的啦！！只是我太笨！！
而且刚才我有看其他的帖子。。。都不大明白！！因为都是华语的。
我这个是英文的。

PROVE THAT THE EQUATION
2^2X+64(2^-X)=32
HAS A REAL ROOT APART FROM THE ROOT X=2.FIND THIS ROOT.

希望大家可以帮帮忙！！


[微中子:我把这里换成中学数学的讨论区啦!包括PMR,统考,SPM,STPM的问题.所以要请教功课的一概在这里,谢谢.]

[ Last edited by 微中子 on 4-7-2004 at 12:00 PM ]

微中子

你的equation写的很乱哦..
是不是
2^(2x) +64*2^(-x) = 32呢?

如果是这个的话,
(2^x) {2^(2x) +64*2^(-x)} = (2^x) 32
2^(3x) + 64 = 32 (2^x)
让 u = 2^x
2^3x = (2^x)^3 = u^3

u^3 - 32u + 64 = 0

已经知道其中一个x=2 就是u=4,
(u^3 - 32u + 64)= (u-4)(u^2 + 4u - 16) = 0

除了u=4,还有 u = (-4 + sqrt(80))/2 和 (-4 - sqrt(80))/2
然而, u <0并无real number solution for x.
所以只有 u = (-4 + sqrt(80))/2会有实数解.
2^x = (-4 + sqrt(80))/2
x = 1.306

BluStAr

微中子 于 4-7-2004 12:07 AM  说 :
你的equation写的很乱哦..
是不是
2^(2x) +64*2^(-x) = 32呢?

如果是这个的话,
(2^x) {2^(2x) +64*2^(-x)} = (2^x) 32
2^(3x) + 64 = 32 (2^x)
让 u = 2^x
2^3x = (2^x)^3 = u^3

u^3 - 32u + 64 = 0
...

对啦，对啦。你好利害哦！！
可是还有一点不明白。
为什么一开始 2^(2x) 和 32 那边要加(2^x)??
还有，－4＋squa(80)/2 怎样拿到的？？
sorry.......
我真的很笨。。。

微中子

BluStAr 于 4-7-2004 04:05 PM  说 :


对啦，对啦。你好利害哦！！
可是还有一点不明白。
为什么一开始 2^(2x) 和 32 那边要加(2^x)??
还有，－4＋squa(80)/2 怎样拿到的？？
sorry.......
我真的很笨。。。

其实我是乘2^x,不是加.

主要原因是我不要有2^(-x)
在那个equation里,
所以我这样做.
而且2^x不可能是零,
所以这样做是安全的.

至于(-4 + sqrt(80))/2,
sqrt代表squareroot.
这个是解u^3 - 32u + 64 = 0
这个quadratic equation拿到的.
应该有两个答案,
但是只有>0的答案才有real number x.
所以我选(-4 + sqrt(80))/2.

BluStAr

微中子 于 4-7-2004 12:07 AM  说 :
你的equation写的很乱哦..
是不是
2^(2x) +64*2^(-x) = 32呢?

如果是这个的话,
(2^x) {2^(2x) +64*2^(-x)} = (2^x) 32
2^(3x) + 64 = 32 (2^x)
让 u = 2^x
2^3x = (2^x)^3 = u^3

u^3 - 32u + 64 = 0
...

还有哦，u^3-32u+64 要变去 (u-4)(u^2+4u-16u)....有没有formula 或者shortcut??? 我不是很会“看”要怎样变。

微中子

是(u-4)(u^2+4u-16)啦

从u^3-32u+64
我们知道u=4是其中一个.

首先可以写成
(u-4)(...)
然后我们知道 u^3的coefficient = 1,
free of u的term 是64
所以我们可以写
(u-4)(u^2... -16)

然后u^2的coefficient=0
只有-4u^2 + 4u^2
所以(u-4)(u^2 + 4u - 16)

如果看不出,可以让
(u^3 - 32u + 64)= (u-4)(Au^2 + Bu + C)
然后展开(u-4)(Au^2 + Bu + C) = Au^3  + (B-4A)u^2 + (C - 4B)u -4C
然后 A = 1, C = -16, B = 4

不过这样比较慢,也比较麻烦.

强

知道u－４ 是其中一个factor

那么 也可以用除法来找

BluStAr

我想請問這種題目該怎麼做？？？
show that root of the equation z^4-16=0 are represented in an Argand diagram by the vertices of a square.
該要怎樣才可以變成 a+bi ？？

given that the complex number z and its conjugate z* satisfy the equation zz*+2zi=12+6i, find the possible value of z.

謝謝！！

第一题：
是用这个吗？

x^n - c = 0 ( if c > 0)

x = [abs(c)]^(1/n) { cos [(2k*PI)/n] + i sin [(2k*PI)/n] }

so z^4 - 16 = 0

z = 2 { cos [(2k*PI)/4] + i sin [(2k*PI)/4] } k = 0,1,2,3

太久没动COMPLEX NUMBER （复数），忘了好多。。

第二题：

我找到两个：

let z = (a+ib) --> substitute into the equation, expand then find the real part and imaginary part ( sorry, can't type chinese when i 'edit' )

z = (3+3i)  conjugate (共扼）-> z* = (3-3i)    或
z = (3-i), z* = (3+i)

是不是这样ah?

各位精英， 请指教。

[ Last edited by jwyong on 11-7-2004 at 06:31 PM ]

pipi

jwyong 于 11-7-2004 05:20 PM  说 :
第一题：
是用这个吗？
x^n - c = 0 ( if c > 0)
...
是不是这样ah?

我也许久没什么动＂复数＂了。。。不过我想：就是这样！

BluStAr

jwyong 于 11-7-2004 05:20 PM  说 :
第一题：
是用这个吗？

x^n - c = 0 ( if c > 0)

x = [abs(c)]^(1/n) { cos [(2k*PI)/n] + i sin [(2k*PI)/n] }

so z^4 - 16 = 0

z = 2 { cos [(2k*PI)/4] + i sin [(2k*PI)/4] } k = 0,1,2,3

...

第二题对了，第一题。。。。。。。。。好象不对！！
怎么好象还没作完？？
还是你要我自己算？？

fritlizt

第二题：

lets: z=a+bi

zz*+2zi=a^2+b^2+2(a+bi)i
       = a^2 + b^2 + 2ai -2b
       = (a^2 + b^2 - 2b) +2ai
       = 12 + 6i

---2a = 6
   a = 3

---3^2 + b^2 -2b = 12
   b^2 - 2b -3 = 0
   (b-3)(b+1) = 0
   b = 3,-1

所以：z=3+3i, 3-i

不知我的答案有没有错，不过方法应该是对的。

[ Last edited by fritlizt on 24-7-2004 at 01:21 AM ]

第一题，如果你把k＝０，１，２，３代入z＝blah..blah..那一式子，你将得４个解：

k＝０时，z＝２
k＝１时，z＝２i
k＝２时，z＝－２
k＝３时，z＝－２i

不知答案对吗？

不知道有没有更简易的方法？

For Argand Diagram, I think you need to figure out yourself. I cannot show it here. The 4 roots I get are basically in the form of a+bi.
*edit - cant type chinese*

[ Last edited by jwyong on 24-7-2004 at 01:48 AM ]

loveissecret

请prove这一题

if    a = log(10/9)
      b = log(25/24)
      c = log(81/80)

plz prove that log 2 = 7a-2b+3c


这题我和朋友的证明方法都不一样，我还想看看其他的高见。。。
谢谢

無聊人

来看看我的方法。

log 2 = 7a - 2b + 3c   , where a = log (10/9), b = log (25/24), c = log (81/80)

7a - 2b + 3c
= 7[log (10/9)] - 2[log (25/24)] + 3[log (81/80)]

= 7(log 10 - log 9 - 2(log 25 - log 24) + 3(log 81 - log 80)

= 7(log 2 + log 5 - 2log 3) - 2[2log 5 -(log 3 + 3log 2)] + 3[4log 3 - (log 5 + 4log 2)]                Note: log 9 = 2log 3

= 7log 2 + 7log 5 - 14log 3 - 4log 5 + 2log 3 +6log 2 + 12log 3 - 3log 5 - 12log 2

= log 2

= proven

pipi

我的解答如下（骗吃的）：


[ Last edited by pipi on 17-8-2004 at 03:09 PM ]

y=punca kuasa dua x
请 用Prinsip Pertama  找 出dy/dx

井底之蛙

什么是Prinsip Pertama?

y=x^(1/2)
dy/dx=(1/2)x^(-1/2)

pipi

我的解答：


[ Last edited by pipi on 17-8-2004 at 03:09 PM ]

铁蛋

y = √x

设 δy, δx 分别为很小的 y, x 变化.

y + δy = √(x + δx)

取左右边的平方,

y^2 + 2yδy + (δy)^2 = x + δx

δy (2y + δy) = δx

δy / δx = 1 / (2y + δy)

当δx, δy 很小时，可以 "abaikan", 而且我们写 δy / δx = dy / dx 得

dy/dx = 1 / 2y = 1 / 2√x .

这是中学 form 4 / 5 时＂解释＂微积分的方法。当然是不严谨的，不过是一个初步的认识。Pipi 的解答是对，不过本地的中学数学课本都没有解释＂derivative＂的定义是什么，这种解答恐怕要在form 6 ? 或大学才遇到。