完全平方数

有没有人想过？？
为什么4个连续整数相乘后再加1，一定等于一个完全平方数？
例如：1*2*3*4+1 = 5^2
     2*3*4*5+1 = 11^2
     20*21*22*23+1 = 461^2
     ... ...

设４个连续数字为 (n-1),n,(n+1),(n+2):

(n-1)*n*(n+1)*(n+2)+1
=(n^2-1)*n*(n+2)+1
=n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n + 1
=(n^2 + n - 1)^2

所以是完全平方。

是不是这样ar？

很好！
不过，这会不会比较清楚呢？

  (n-1)*n*(n+1)*(n+2) + 1
= [n*(n+1)][(n-1)*(n+2)] + 1
= [n^2 + n][n^2 + n - 2] + 1
= (n^2 + n )[(n^2 + n) -2] +1
= (n^2 + n)^2 - 2(n^2 + n) + 1    (a^2 - 2a + 1 的形式)
= [n^2 + n -1]^2

absolutely！

我发现到这里有很多数理精英，一等一的精英。真的要向你们学习。我很久以前也是在理科班混的，在那儿＂骗吃＂而已。

sigh！

pipi

哈，这样热闹，我也来：
（基本上，与活死人的差不多）
设这4个连续整数为 n, n+1, n+2, n+3 。
因此，
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n+1)(n+2) n(n+3) + 1
=(n^2 + 3n + 2)(n^2 + 3n) + 1
=(n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n) + 1
=(n^2 + 3n + 1)^2

[ Last edited by pipi on 5-5-2004 at 05:40 PM ]

斷羽鳥

写个服字给你们！



“混“ 这字还蛮好听得！
“骗吃“嘛就不大好听了！

不如说， 混口饭吃就好！ 。。。 我也在理科混口饭吃， 但我没骗人哦！！！

哈哈哈哈哈。。。。阿哈 。。。

各位都必我厉害。。 我是连骗都骗不进理科班的那种。。 哈哈。。

pipi

1                                   =    1^2
1+2+1                            =    2^2
1+2+3+2+1                     =    3^2
1+2+3+4+3+2+1             =    4^2
1+2+3+4+5+4+3+2+1      =    5^2
...

[ Last edited by pipi on 5-5-2004 at 05:55 PM ]

yeah!!!
你们都很很很很厉害咧!!!
看来大家都混得不错嘛...

pipi 于 5-5-2004 05:54 PM  说 :
1                                   =    1^2
1+2+1                            =    2^2
1+2+3+2+1                     =    3^2
1+2+3+4+3+2+1             =    4^2
1+2+3+4+5+4+3+2+1      =    5^2
...

我也来凑热闹，多多指教!

  1+2+3+...+n+(n+1)+n+...+3+2+1
= 2*(1+2+3+...+n)+(n+1)
= 2*{1/2[n(n+1)]}+(n+1)
= n(n+1)+(n+1)
= (n+1)^2

pipi

再来一种完全平方数：

1                       = 1 = 1^2
1+3                     = 4 = 2^2
1+3+5                   = 9 = 3^2
1+3+5+7                 =16 = 4^2
1+3+5+7+9               =25 = 5^2
1+3+5+7+9+11            =36 = 6^2
...

1+3+5+...+(2n-1) = n/2 (1+2n-1)
                 = n^2

用 等 差 数 列 的 和 来 解 。
pai sei！

微中子

还有什么有趣的完全平方数吗?

不妨再放出来.
让这里成为收集关于完全平方数的贴子.
如果有足够的话,
迟些我会加入精华.
贡献者一概+5分.

[ Last edited by 微中子 on 12-5-2004 at 10:07 AM ]

無聊人

这是我在今天的年中考试题中看到的。
有一点不切题啦！但你们看看……

有一种满特别有另类的方法可以找到>100的平方数！

拿个比方说：106^2  (106 是超过 100)


第一步骤：106 + (原号码 - 100) = 106 + 6
                               = 112


第二步骤：112 * 100 = 11200


第三步骤：11200 + (原号码 - 100)^2 = 11200 + 6^2
                                   = 11200 + 36
                                   = 11236 <-- 答案咯！

不信的话，重算过一次，106^2 = 11236！

网友可以试解：(-112)^2 ，跟 (1.21)^2。

flash

無聊人 于 12-5-2004 20:58  说 :
这是我在今天的年中考试题中看到的。
有一点不切题啦！但你们看看……

有一种满特别有另类的方法可以找到>100的平方数！

拿个比方说：106^2  (106 是超过 100)


第一步骤：106 + (原号码 - 100) =  ...

在 VEDIC MATHEMATICS 这本书有述说类似这种方法。

强

我也来一个

25是最小的完全平方数是由两个完全平方数组成

微中子

楼上的你是说什么呢?
是不是要说
25 = 9 + 16?

还是什么呢?

pipi

無聊人 于 12-5-2004 08:58 PM  说 :
拿个比方说：106^2  (106 是超过 100)


第一步骤：106 + (原号码 - 100) = 106 + 6
                               = 112

我觉得应该是
第一步骤：原号码 + (原号码 - 100) = 106 + 6
                               = 112
吧？？对吗？

pipi

强 于 13-5-2004 01:01 PM  说 :
我也来一个

25是最小的完全平方数是由两个完全平方数组成

0 也是完全平方数吧？？
若是，
0 就是最小的完全平方数是由两个完全平方数组成

pai se, 纯粹捣蛋。。。

我也来混一混！
设原号码为 a, a>100,
按无聊人的算法，
第一步骤：
           a + (a - 100) = 2a - 100

第二步骤：
           (2a - 100)*100

第三步骤：  
           (2a - 100)*100 + (a - 100)^2
          =a^2

一个很不错的算法。

但当a不是那么漂亮时， 这招不是很管用。试一试352。

从以上的讨论，小人得到的结论是，

第"零"步骤：
观察数字a,建议一个数字b(个人喜好，只要能方便以下运算即可)。

第一步骤：
           a + (a - b) = 2a - b

第二步骤：
           (2a - b)*b

第三步骤：  
           (2a - b)*b + (a - b)^2
          =a^2

例；a=352, 建议b=304
第一步骤：
           352 + (352 - 304) = 400

第二步骤：
           400*304 = 121600

第三步骤：  
           121600 + (48)^2
          =121600 + (50 - 2)^2
          =121600 + [50^2 - 2*50*2 +2^2]
          =121600 + 2304
          =123904

不好意思，第三步骤很"骗吃"。

了解数字的特性，多练习，你的心算就会快。