比这小一点点的数

光头

就拿“1”这个数来谈好了。小时候总是觉得会有一个数比这1“小一点点”，那就是“0.9999999999.......“

一直到大学时和內行人聊起才知道在数学里，这个数和“1“是一样的。也就是说，“1”这个数有两种写法，而所谓的“比1小一点”的数对数学家来说是不存在的。

人们一般证明是这样的：

假设A是一个比1小一点的数，
那么（A+1）/2一定比A更接近1，所以出现了矛盾。

也不是不合理，这当然是个可以接受的说法，但只能说当初的疑虑并未完全被消除。

从比较哲学的层面来看，其中有一个可以争的地方是——怎么知道象上面这（A+1）/2这个计算式所得的结论对两个“相邻的数”（假设真的有这样的数）能成立？

事实上，数学题做多了，就可以发现很多算式都有例外的！

比如说：1/Y这一式子中Y不可以为0。

还有很多方程式或判别式，一旦其变元达到一个数之后就开始失效了。问题是——请问开始失效的地方是哪一点呢==？


还有其它的一些现象也难免会让人对这点感到怀疑。

例如对高中生都不陌生的“e”这个数。
[注：(1+1/n)^n(n为自然数)在n趋于无穷大时的极限是一个无理数。e≈2.71828182845.....]

以上是一种“只大一点点~~一点点~~就那么一点点~~~“而造成大分别的情况。

其实“小一点点”的情况也是那样，只是逼近的数值不同而已。

数学家的争辩是：“无穷”不是一个数，而是一个概念。同样的，一般人认为的“绝对值很小很小的一个数”也只是一个概念，不是一个数。因为在数学家的眼里，“数”必须有固定的“值”

问题是，我们不也可以说：
“e”不是一个数，反正都说了无穷不是一个数，因为它没有值，我们不能把“无穷”代入

(1+1/n)^n

这个式子里去。既然如此，“e”当然是一个我们没办法逼近的值。只能说我们代的数越大，就越接近我们心目中的一个概念“e”而已，就好象数字写得越大就越趋近我们心中的一个概念“无穷”那样。

但事情只怕没那么简单。因为在高等数学的解析几何中，“e”和圆周率“pi”是有关系的，最起码透过微积分和马克劳林级数能找到两者的关系。那么，这不连带着说“圆周率”也不是一个数，只怕没人能夠同意。（难不成说“直径”和“圆周”也都不存在，只是一个“概念”而已？）

这样说来，我反而不太同意一般主流数学所认为的“没有固定值就不成数”的说法。

而且，认真地说起来，许多数不也只是一个概念而已。

目前对1的定义是：如果有一个数X乘以任何数A都会得到A，那么这个X就是1。对0的定义是：如果有一个数X乘以任何数A都会得到X，那么这个X就是0。

由1和0的结合开始，透过四则运算和开根我们能夠得到许多其它的数。
但偏就有一种数是永远都没办法透过有限次的四则运算和开根后得到的，这种数就是“超越数”。到了最后，这些超越数都不是数，只是“概念”吗？

如果超越数都不是数，那么“Pi”也不是数（因为PI是超越数）。

但在概念上，显然我们都承认“Pi”和“e”这些东西是“数”。
最后，只怕不能因为没有固定值而说一个数不是数。


所以我个人认为“无穷”是数，“一个绝对值极小的数”也是数，这样，比“1小一点点”的数也是数。但这些数都是“超越数”。

0.99999....有可能不是1，而是一个超越数。之前用(1+0.99999....)/2所得到的结果还是0.9999....，因为它是一个永远没办法逼近的超越数。

是耶？非耶？谁知道。

多普勒效应

这个似乎关系到 R 的 completeness, 和 supremum 的东西.

光头

我看了这些资料，浮现在我脑海里的第一个观点就是

这一个数可以说它是我们假设的“理想数值”，
就差不多相等于理想气体之类的，他们在特定情况只能相似于某一条件，但是这并不像等于真实的。

多普勒效应

没记错的话, 在extended real number system里, 无穷就定义成任何实数子集的 upper bound. 这不就解决了疑惑吗?

比 1 小一点点? 怎么定义?

多普勒效应

e 是实数.. e = sup{(1+1/n)^n ; n is positive integer}

这些都是 limit 的概念..

光头

所以到最后我们只能称呼那一个数值为
趋近于某某数
而不能直接称呼。

kenny56

我有看过0.99999999。。。。。。。。。。。=1的证明。

最简单的证明就是
0.999999.......
=3x0.33333............
=3x1/3
=1
所以可以说0.999.........=1吧

e和pi都是超越数和无理数吧。从wiki看到的。

但是我有个疑问，为什么无理数可以被“画”在图上，却是一个不可循环的无穷小数呢。既然它可以被或“画”出来，那我们就应该可以量出它的长度啊，那为什么他不可以表示成准确的小数呢？

请各位大大帮忙解答小弟的疑惑。