代数：来玩玩吧

hamilan911

f(x)+f(1-x) = 4^x/(4^x+2) + (4/4^x)/((4/4^x) + 2)
            = 4^x/(4^x+2) + 4/(2*4^x + 4)
            = (2*4^x + 4)/(2*4^x + 4)
            = 1
f(1003/2006) + f(1 - 1003/2006) = 2f(1003/2006) = 1
f(1003/2006) = 1/2

f(1/2006) + f(2/2006) + ... + f(2005/2006) = 1002 + 1/2
                                           = 1002.5

dunwan2tellu

答对了!不错！就是用 f(x) + f(1-x）= 1 来配对！

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 22-2-2006 09:33 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

又有新的题目了！

共有多少个小于2500的正整数 p , 使到 [log_4 p] 和 [log_3 p] 都是质数(prime)？

* [ ] 是 floor function .

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 23-2-2006 04:32 PM 发表
又有新的题目了！

共有多少个小于2500的正整数 p , 使到 [log_4 p] 和 [log_3 p] 都是质数(prime)？

* [ ] 是 floor function .

满足[log_4 p]是质数的包括 16至255，1024至2499
满足[log_3 p]是质数的包括 9至80，243至728，2187至2499
取两个的intersection，得
(80-15)+(255-242)+(2499-2186) = 65 + 13 + 313
                              = 391

dunwan2tellu

题目：一元二次方程式

关于 x 的二次方程 x^2 + (a-1)x + a^2 - 1 = 0 ,
(1)两根都大于 1
(2)在(0,2)内必有一个实根
(3)一个根大于 1,另一个根小于 -1。
试分别求出满足上述条件的实数 a 的取值范围

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 27-2-2006 12:57 AM 发表
题目：一元二次方程式

关于 x 的二次方程 x^2 + (a-1)x + a^2 - 1 = 0 ,
(1)两根都大于 1
(2)在(0,2)内必有一个实根
(3)一个根大于 1,另一个根小于 -1。
试分别求出满足上述条件的实数 a 的取值范围

(1)两根都大于 1
判別式(a-1)^2 - 4(a^2-1) >= 0
根和 -(a-1) > 2
根積 a^2 - 1 > 1
還有嗎??

dunwan2tellu

原帖由 灰羊 于 27-2-2006 01:13 AM 发表


(1)两根都大于 1
判別式(a-1)^2 - 4(a^2-1) >= 0
根和 -(a-1) > 2
根積 a^2 - 1 > 1
還有嗎??

还可以有多一个就是 f(1)>0

dunwan2tellu

Polynomial 多项式：

一个次数为 n 的多项式(degree n polynomial) 满足 P(k) = k/(k+1)  , k=0,1,2,3...,n  . 求 P(n+1) = ?

dunwan2tellu

灰羊,hamilan911,伊利布里，其他网友，来做做代数吧！

题目：代数

a,b,c为实数且符合 a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b) = 0 和 a+b+c =/= 0 .

求证 a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 1

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 6-3-2006 06:46 PM 编辑 ]

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 3-3-2006 04:02 PM 发表
Polynomial 多项式：

一个次数为 n 的多项式(degree n polynomial) 满足 P(k) = k/(k+1)  , k=0,1,2,3...,n  . 求 P(n+1) = ?

不是很明白
P(n+1) = (n+1)/(n+2)

dunwan2tellu

原帖由 灰羊 于 6-3-2006 07:24 PM 发表


不是很明白
P(n+1) = (n+1)/(n+2)

求 P(n+1) 的式。而且,P(n+1) =/= (n+1)/(n+2) 因为 P(k) = k/(k+1) 的关系之可以用到 n 而不是 n+1。你必须自己想 P(n+1) 的找法

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 6-3-2006 07:50 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

解方程组：

已知 x_i 为实数 i = 1,2,3...,2006 ，且

x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
      .
      .
      .
x_98 + x_99 + x_100 = 0
x_99 +x_100 + x_1 = 0

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 11-3-2006 04:48 PM 发表
解方程组：

已知 x_i 为实数 i = 1,2,3...,2006 ，且

x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
      .
      .
      .
x_98 + x_99 + x_100 = 0
x_99 +x_100 + x_1 = 0

x_1 + x_2 + x_3 = 0   - (1)
x_2 + x_3 + x_4 = 0   - (2)
(1)-(2) x_1 = x_4
以此类推，x_1 = x_4 = x_7 = x_{3k+1}
          x_2 = x_5 = x_8 = x_{3k+2}
          x_3 = x_6 = x_9 = x_{3k+3}   k = 0,1,2...
x_99 +x_100 + x_1 = x_3 + 2x_1 = 0
所以 x_3= -2x_1
x_1 + x_2 + x_3 = 0
所以 x_2 = x_1
(x_{3k+1},x_{3k+2},x_{3k+3}) = (t,t,-2t)

dunwan2tellu

对了！还有前面及几题没有被解。

dunwan2tellu

解方程组：

x,y,z 为实数，且满足

4x^2/(1+4x^2) = y

4y^2/(1+4y^2) = z

4z^2/(1+4z^2) = x

dunwan2tellu

原帖由 dunwan2tellu 于 11-3-2006 09:51 PM 发表
解方程组：

x,y,z 为实数，且满足

4x^2/(1+4x^2) = y

4y^2/(1+4y^2) = z

4z^2/(1+4z^2) = x

提示： (2x-1)^2 >= 0  ---> 4x^2 + 1 >= 4x

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 15-3-2006 03:35 PM 发表


提示： (2x-1)^2 >= 0  ---> 4x^2 + 1 >= 4x

4x^2 + 1 >= 4x
1/(4x^2+1) =< 1/(4x)
4x^2/(1+4x^2) =< x
4x^2/(1+4x^2) = y          -->   y =< x
综合得  y =< x , z =< y , x =< z
所以 x=y=z
4x^2/(1+4x^2) = x
x(4x^2 - 4x + 1) = 0
x(2x-1)^2 = 0
x = 0 ,1/2
(x,y,z) = (0,0,0) , (1/2,1/2,1/2)

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 6-3-2006 06:45 PM 发表
灰羊,hamilan911,伊利布里，其他网友，来做做代数吧！

题目：代数

a,b,c为实数且符合 a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b) = 0 和 a+b+c =/= 0 .

求证 a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 1

a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b) = 0
sum(a^4 + (b+c)a^3 + (a^2)bc)  = 0
(a^3 + b^3 + c^3 + abc)(a+b+c) = 0
(a+b+c) =/= 0   
a^3 + b^3 + c^3 + abc = 0
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
= sum(a^3 + (b+c)a^2 + abc)/(a+b)(b+c)(c+a)
=[(b+c)a^2 + (a+c)b^2 + (a+c)c^2 + 2abc]/(a+b)(b+c)(a+c)
= 1

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 15-3-2006 09:03 PM 发表

a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b) = 0
sum(a^4 + (b+c)a^3 + (a^2)bc)  = 0
(a^3 + b^3 + c^3 + abc)(a+b+c) = 0
(a+b+c) =/= 0   
a^3 + b^3 + c^3 + abc = 0
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
= sum(a ...

wah ! 酱也行！好！Factorise power 3 或以上都不是我的强项 。我用的方法是

注意到  Sum a^2/(b+c) + a = Sum a(a+b+c)/(b+c) = (a+b+c)*Sum a/(b+c)

所以 (a+b+c) = (a+b+c)* Sum a/(b+c) <==> Sum a/b+c = 1

dunwan2tellu

二元二次方程之判别式的运用：

已知 x,y为实数，且 x^2 + y^2 + 2xy + x - y = 0 , 求证

x =< 1/8 , y>= -1/8