数学训练（十一月份）

多普勒效应

430201 于 18-11-2004 10:50 PM  说 :
設N的末二位數為B，其餘為A
則N＝100A＋B
   N^2＝10000A^2＋2×100A×B＋B^2－－－－－（1）
即B^2的末二位數為04
設B＝（ab），顯然b＝2或8
一)若b＝2
  B^2＝100a^2＋40a＋4
  得a＝0或5
  1)a＝0→B＝ ...

解法不对
再接再厉

多普勒效应
11/11/2004,星期四
高中 (B37)
f 和 g 是两个多项式（polynomial），且
f(x + g(y))=3x + y + 4
给所有实数x,y
求 g( 8 + f (3)) 之值。

答案是７吧？？

设 f(x) = 3x + k
则 g(y) = (y+4-k)/3
故 g( 8 + f (3)) ＝７
    

不好意思，在下对于这题有少许意见，

多普勒效应12/11/2004,星期五
高中 (B38)
a,b 是 x^2 - (k-1)x + (k^2 + 3k +4)=0
的两根，k 是某些实数。
求 a^2 + b^2 的最大值。 （已解）
（答案：8）
（解对者：灰羊，430201）

fritlizt 于 12-11-2004 12:37 PM  说 :
a^2 + b^2 的最小值也不一定是当 a=b， a ,b 也可以是虚数。
问题没规定是实数。
不懂我对吗？？？

如果题目没特别注明的话，
a,b 应该可以是虚根才对。

灰羊 于 12-11-2004 09:21 AM  说 :
x^2 - (k-1)x + (k^2 + 3k +4)=0
∵k是實數
∴判別式=(k - 1)^2 - 4(k^2 + 3k + 4)≧0

k是實數，并不代表判別式≧0。

∵ a^2 + b^2 = -(k+4)^2 + 9
且 (k+4)^2 ≧ 0
故 a^2 + b^2 ≦ 9 才对。

还有，

灰羊 于 12-11-2004 08:39 PM  说 :
81/9≦(a^2 + b^2)≦8 <===應該是130/9≦(a^2 + b^2)≦8吧

如果 130/9 ≦ (a^2 + b^2) ≦ 8 的话，
那 (a^2 + b^2) 就不存在着最大和最小值了！！
        

eeCyang 于 16-11-2004 11:21 AM  说 :
15/11/2004,星期一
初中 (A37)
证明


(sinx)^10+(cosx)^10=[(sinx)^5+(cosx)^5]^2-2(sinx)^5(cosx)^5
                   =[(sinx)^5+(cosx)^5]^2-1/16(sin2x)^5

已知[(sinx)^5+(cosx)^5]^2>=0,当x为任何常数..

应该对了！！

当x为任何常数，
[(sinx)^5+(cosx)^5]^2 ≧ 0
且  -1/16 ≦ -1/16(sin2x)^5 ≦ 1/16
故 [(sinx)^5+(cosx)^5]^2-1/16(sin2x)^5 ≧ 1/16
既 (sinx)^10+(cosx)^10 ≧ 1/16
    

多普勒效应
18/11/2004,星期四
高中 (A37)
设 0<a,b<90度 , 且 sin a-sin b = -1/3
     cos a - cos b= (2√2) /3
证明 b - a =60度

    

[ Last edited by sinchee on 19-11-2004 at 05:24 PM ]

□昨晚太累了，抱歉！修正如文，敬請斧正。謝謝！□

設N的末尾二數為B，其餘為A
則N＝100A＋B
   N^2＝10000A^2＋2×100A×B＋B^2－－－－－（1）
即2×100A×B＋B^2的末尾四數為6004
  B^2的末二位數為04
設B＝（ab），顯然b＝2或8
一)若b＝2
  B^2＝100a^2＋40a＋4
  得a＝0或5
  1)a＝0→B＝02，
    則2×100A×B＋B^2＝400A＋4
即400A的末尾四數為6000
可得A的尾數為0或5
若A的尾數為0，得A的最小值為40；
若A的尾數為5，得A的最小值為15。
  2)a＝5→B＝52，
    則2×100A×B＋B^2＝10400A＋2704
即10400A的末尾四數為3300
    但4的倍數的尾數不可能為3，故無解。
二)若b＝8
   B^2＝100a^2＋160a＋64
   得a＝4或9
  1)a＝4→B＝48，
    則2×100A×B＋B^2＝9600A＋2304
即9600A的末尾四數為3700
    但6的倍數的尾數不可能為7，故無解。
  2)a＝9→B＝98，
    則2×100A×B＋B^2＝19600A＋96044
即19600A的末尾四數為6400
可得A的尾數為4或9
若A的尾數為4，得A的最小值為34；
    若A的尾數為9，得A的最小值為59。

綜上所述，故最小的N為1502

430201 于 19-11-2004 09:00 AM  说 :
□昨晚太累了，抱歉！修正如文，敬請斧正。謝謝！□
... ...
... ...

綜上所述，故最小的N為1502

答案还是错了，最小的 N 应该是 998 才对！！！
    

多普勒效应

答案是998
sinchee 说做法啦

flash

梵谷 于 18-11-2004 14:17  说 :
大专 （C14）
A赢的可能性最大

不对。想想一下赢的可能性吧！

fritlizt 于 10-11-2004 18:22  说 :


pair怎么玩？
我不懂eh...可以教教一下吗？


[ Last edited by fritlizt on 10-11-2004 at 06:24 PM ]

该怎么教呢？我怕教下去数学论坛就变成赌博论坛了。
问问别人或看看一些有关赌博的戏吧！

※哈哈！老了！※

設N的末尾二數為B，其餘為A
則N＝100A＋B
   N^2＝10000A^2＋2×100A×B＋B^2－－－－－（1）
即2×100A×B＋B^2的末尾四數為6004
  B^2的末二位數為04
設B＝（ab），顯然b＝2或8
一)若b＝2
  B^2＝100a^2＋40a＋4
  得a＝0或5
  1)a＝0→B＝02，
    則2×100A×B＋B^2＝400A＋4
即400A的末尾四數為6000
可得A的尾數為0或5
若A的尾數為0，得A的最小值為40；
若A的尾數為5，得A的最小值為15。
  2)a＝5→B＝52，
    則2×100A×B＋B^2＝10400A＋2704
即10400A的末尾四數為3300
    但4的倍數的尾數不可能為3，故無解。
二)若b＝8
   B^2＝100a^2＋160a＋64
   得a＝4或9
  1)a＝4→B＝48，
    則2×100A×B＋B^2＝9600A＋2304
即9600A的末尾四數為3700
    但6的倍數的尾數不可能為7，故無解。
  2)a＝9→B＝98，
    則2×100A×B＋B^2＝19600A＋96044
即19600A的末尾四數為6400
可得A的尾數為4或9
若A的尾數為4，得A的最小值為34；
    若A的尾數為9，得A的最小值為9。

綜上所述，故最小的N為998

梵谷 于 18-11-2004 02:17 PM  说 :
大专 （C14）
A赢的可能性最大

答案应该是(D)才对啦！！！

想想一下，5 个人都拿 3 个 A ，
只要有人拿 4 张相同的牌就输了，5 人输的机会都相等。
但如果有人拿同花顺，他们也会输，
而 (D) 的情况，别人拿同花顺的机会最小，
即，(D) 赢的机会最大。
    

多普勒效应 于 19-11-2004 10:10 AM  说 :
答案是998
sinchee 说做法啦

因为 N^2 的末尾数为 4，
所以 N = 10A ± 2
     N^2 = 100A^2 ± 40A + 4

又，因为 N^2 的百位数字为 0，
故得知 A 的末尾数必须是 0，
因此，N 可以写成 100B ± 2，
      N^2 = 10000B^2 ± 400B + 4

要使千位数字为 6，
则 ± 400B 必须是 +...6000 或 -...4000。
即 B = 15,65,... 或 10,60,...
由此可见，N 的最小值为 100(10)-2，即998。
    

chiaweiwoo1

初中 (A39)
1+2+3+4+...+9=45=9*5
只要证明 5|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5) 和 9|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5) 就可以了。
(a + b) ^5 = (a + b)(a^4 - a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 + b^4)
所以 1^5 + 2^5 + ... + 9^5 = (1^5 + 9^5) + (2^5 + 8^5) + (3^5 + 7^5) + (4^5 + 6^5) +
                              5^5
     1^5 + 2^5 + ... + 9^5 = 10*A + 10*B + 10*C + 10*D + 5^5 (A,B,C和D为正整数)
所以 5|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5)
     1^5 + 2^5 + ... + 9^5 = (1^5 + 8^5) + (2^5 + 7^5) + (3^5 + 6^5) + (4^5 + 5^5) +
                              9^5
     1^5 + 2^5 + ... + 9^5 = 9*E + 9*F + 9*G + 9*H + 9^5
所以 9|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5)
所以(1+2+3...+9)|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5)。

[ Last edited by chiaweiwoo1 on 19-11-2004 at 07:56 PM ]

大专 （C13）
证明 　２＜ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。


说真的，如果给我解这一题的话
我一定毫不犹豫的用画图法
首先,(1 + 1/n)^n   and n is natural number
可以化为(1 + k)^(1/k) and  0<k<1
then draw 3 lines--->y=1+k
y=2^k
y=3^k
可以发现在0<k<1里面
y=2^k一直都在y=1+k之下---->很简单，不用画图出来也知道啦。。。(因为只有在k=0,k=1相交)
y=3^k一直都在y=1+k之上  （因为两个交点，一个是k=0,一个是k<0）
2^k<1+k<3^k
===>2<(1+k)^(1/k)<3   当0<k<1
===>2<(1 + 1/n)^n<3   当n is natural number

(可以这样变换因为n is natural number 的range在0<k<1的domain里面)


当然，还是有其他的解法
证明(1+1/n)^n-2>0,(1+1/n)^n-3<0


(1+1/n)^n-2
=[(1+n)/n]^n-2
=[(1+n)^n-2n^n]/(n^n)--------->分母先搁着一边，打字太麻烦了
=(1+n)^n-2n^n--->展开
=1+(nC1)(n)+(nC2)(n^2)+...+(nC(n-2))(n^(n-2))+(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n
由于最后三项相加就是0-->(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n=0
剩下的全部是正数
所以，(1+1/n)^n-2>0
(1+1/n)^n>2

然后就是证明(1+1/n)^n-3<0--->maximum=e<3
所以就解到了

另外一个解法y=(1+1/n)^n是一个monotonic increasing function(容易证明)
所以取最小n=1,y=2
取最大,用limitn-->无限,y=e
所以就解到



------嗯。。。到底这个做法对不对

多普勒网友还没有揭晓答案列。。。

萧晨 于 18-11-2004 04:13 PM  说 :
高中 (B39)


simplified (5r+2)/r(r+1)(r+2)
===>5r/r(r+1)(r+2) + 2/r(r+1)(r+2)
= 5/(r+1)(r+2) + 2/r(r+1)(r+2)----〉做法在下面
= 5[1/(r+1) - 1/(r+2)] + 2[1/r - 1/(r+1)] - [1/r - 1/(r+2)]
然后summation
=5{1/2-1/102} + 2{1/1-1/101} - {1/1+1/2-1/101-1/102}
=125/51 + 200/101 - 7625/5151
=15200/5151

(不知道有没有粗心，不过做法就是长。。。)





另外simplify 1/r(r+1)(r+2)
===>[1/r] [1/(r+1)(r+2)]
===>[1/r] [1/(r+1) - 1/(r+2)]
===>[1/r(r+1)] - [1/r(r+2)]
===>[1/r - 1/(r+1)] - [1/r - 1/(r+2)]/2

我做得这题。。。
也没有说对还是不对。。。

yaahoo

萧晨 于 20-11-2004 03:23 AM  说 :
大专 （C13）
证明 　２＜ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。


说真的，如果给我解这一题的话
我一定毫不犹豫的用画图法
首先,(1 + 1/n)^n   and n is natural number
可以化为(1 + k)^(1/k) and ...

"y=3^k一直都在y=1+k之上  （因为两个交点，一个是k=0,一个是k<0)"
不显然,想法不错.(本题不应使用任何微分知识吧)


"另外一个解法y=(1+1/n)^n是一个monotonic increasing function(容易证明)
所以取最小n=1,y=2
取最大,用limitn-->无限,y=e"
monotonic increasing function 必须有界才有极限.题目的最终目的应该是要证明因<3,所以极限存在,设之为e.有点倒过来做似的.

[ Last edited by yaahoo on 21-11-2004 at 11:43 PM ]

初中 (A42)
若n^2 + 7可以被8整除，求 n 的形式

（1）若n＝4k
則n^2 + 7＝16k^2＋7＝8(2k^2)＋7不可以被8整除
（2）若n＝4k＋1
則n^2 + 7＝(16k^2＋8k＋1)＋7＝8(2k^2＋k＋1) 可以被8整除
（3）若n＝4k＋2
則n^2 + 7＝(16k^2＋16k＋4)＋7＝8(2k^2＋2k＋1)＋3 不可以被8整除
（4）若n＝4k＋3
則n^2 + 7＝(16k^2＋24k＋9)＋7＝8(2k^2＋3k＋2) 可以被8整除
故當n^2 + 7可以被8整除時，則n 的形式為4k＋1或4k＋3【n 的形式也可簡化為4k±1】

灰羊

多普勒效应 于 31-10-2004 22:07  说 :
22/11/2004,星期一
初中 (A40)
解联立方程：
  X_1 + X_2 + ... + X_1999 = 1999
(X_1)^4 + (X_2)^4 + ... + (X_1999)^4 = (X_1)^3 + (X_2)^3 + ... + (X_1999)^3
（待解）
（答案：）
（解对者：）

23/11/2004,星期二
初中 (A41)
已知 a_1 + a_2 + ... + a_n = 2002
求 (a_1)(a_2)...(a_n)的最大值。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

真的是初中題目嗎...

多普勒效应

灰羊 于 22-11-2004 08:30 PM  说 :

真的是初中題目嗎...

是摘自我国奥林匹克数学比赛的 Bongsu（初阶）和Muda（中阶）

430201 于 22-11-2004 08:14 PM  说 :
初中 (A42)
若n^2 + 7可以被8整除，求 n 的形式

（1）若n＝4k
則n^2 + 7＝16k^2＋7＝8(2k^2)＋7不可以被8整除
（2）若n＝4k＋1
則n^2 + 7＝(16k^2＋8k＋1)＋7＝8(2k^2＋k＋1) 可以被8整除
（3）若n＝4k＋ ...

只要 n 是奇数就行了！！！