■ 不等式证明题 ■

kelfaru

(y+z)^x + (z+x)^y > y^x + x^y > 1 (待解决！)

从别个数学论坛看来的,用 x^y > x/(x+y) for x>0, 0<y<1 应该可以证得到~

x^y > x/(x+y)
y^x > y/(x+y)

x^y + y^x > 1

听说这是从 Bernoulli's inequality 得来的,小弟也不懂如何证明~

kelfaru

从上楼的概念,应该可以这样证~

Allmaths

这是OMK 2008的不等式题目。。。

Let a, b, c be positive real numbers. Show that

a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca + 6 >= 4(a + b + c)

kelfaru

这是OMK 2008的不等式题目。。。

Let a, b, c be positive real numbers. Show that

a^2 + b^2 + c^ ...
Allmaths 发表于 30-11-2010 01:26 PM

Allmaths

kelfaru 发表于 2-12-2010 12:46 AM

   
功力不够。。。不是看得很明白。。。

mathlim

(a + b - 2)^2 + (b + c - 2)^2 + (c + a - 2)^2 ≥ 0

a^2 + b^2 + 4 + 2ab - 4a - 4b + b^2 + c^2 + 4 + 2bc - 4b - 4c + c^2 + a^2 + 4 + 2ca - 4c - 4a ≥ 0

2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca + 12 ≥ 8a + 8b + 8c

a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca + 6 ≥ 4(a + b + c)

mathlim

(a+b+c-3)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 ≥ 0

a^2 + b^2 + c^2 + 9 + 2ab + 2bc + 2ca - 6a - 6b - 6c + a^2 + 1 - 2a + b^2 + 1 - 2b + c^2 + 1 - 2c ≥ 0

2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca + 12 ≥ 8a + 8b + 8c

a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca + 6 ≥ 4(a+b+c)

Allmaths

(a + b - 2)^2 + (b + c - 2)^2 + (c + a - 2)^2 ≥ 0

a^2 + b^2 + 4 + 2ab - 4a - 4b + b^2 + c^2 + 4  ...
mathlim 发表于 2-12-2010 09:29 PM

   
mathlim大大，那个6应该没关系的吧？只差一个6就和题目一样了。。。

mathlim

回复 108# Allmaths


    是我漏掉了。已编辑。谢谢！

kelfaru

功力不够。。。不是看得很明白。。。
Allmaths 发表于 2-12-2010 12:56 AM

对不起,我的证法错了~