■ 不等式证明题 ■

mathlim

做了好久都做不到~请帮忙下

x,y,z > 0
Prove (x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2
kelfaru 发表于 17-10-2010 12:26 AM

① x > 1, y > 1, z > 1
② x > 1, y > 1, 0 < z < 1
③ x > 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1
④ 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1

依我的看法，可分为上述四种情况。
前三种可轻易得证，只需证明第四种情况。

dunwan2tellu

回复 81# mathlim

0<x,y,z<1
let x = max {x,y,z}

=> (x+y)^z = 1/(x^z) (1 + y/x)^z > 1/(x^z) > 1

And

(x+z)^y > 1

... (x+y)^z + (x+z)^y > 2 ....

minimum when x -> 1 , y,z -> 0

kelfaru

① x > 1, y > 1, z > 1
② x > 1, y > 1, 0 < z < 1
③ x > 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1
④ 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1

依我的看法，可分为上述四种情况。
前三种可轻易得证，只需证明第四种情况。

0<1
let x = max {x,y,z}

=> (x+y)^z = 1/(x^z) (1 + y/x)^z > 1/(x^z) > 1

And

(x+z)^y > 1

... (x+y)^z + (x+z)^y > 2 ....

minimum when x -> 1 , y,z -> 0

不是很明白这part...
为什么(x+y)^z = 1/(x^z) (1 + y/x)^z,而不是(x+y)^z = (x^z) (1 + y/x)^z???
你是不是 let (x+y)^z =>max, 1/(x+y)^z =>min ???

mathlim

回复 81# mathlim

0<x,y,z<1
let x = max {x,y,z}

=> (x+y)^z = 1/(x^z) (1 + y/x)^z > 1/(x^z) > 1

And

(x+z)^y > 1

... (x+y)^z + (x+z)^y > 2 ....

minimum when x -> 1 , y,z -> 0dunwan2tellu 发表于 19-10-2010 11:43 AM

上述证明是错的!
很容易举反例.
(x+y)^z > 1 的条件是 x+y > 1.

kelfaru

上述证明是错的!
很容易举反例.
(x+y)^z > 1 的条件是 x+y > 1.
mathlim 发表于 20-10-2010 12:08 PM

应该是没错了~

0<x,y,z<1

max value when x,y,z=1
(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x = 6
(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x < 6

min value when x,y,z=0
But (x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x is undefined when 0^0
therefore, limit any one of the variables to 0^+
let x=0.00001      y,z=0
(0.00001+0)^0 + (0.00001+0)^0 + (0+0)^0.00001 = 2
1+1+0=2
therefore,
2 < (x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x < 6    for condition 0<x,y,z<1

mathlim

x, y, z > 0
x, y, z ≠ 0

kelfaru

回复 86# mathlim

不然的话 x,y approx to 0 ,z approx to 1
等式会 = 2^+

mathlim

怎么证明 x,y approx to 0 ,z approx to 1 时的值最小？

mathlim

① x > 1, y > 1, z > 1
x+y, y+z, z+x > 2
(x+y)^z, (y+z)^x, (z+x)^y > 1
∴ (x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y > 3 > 2

② x > 1, y > 1, 0 < z < 1
x+y > 2, y+z, z+x > 1
(x+y)^z, (y+z)^x, (z+x)^y > 1
∴ (x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y > 3 > 2

③ x > 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1
x+y, z+x > 1
(x+y)^z, (z+x)^y > 1
∴ (x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y > 2

mathlim

我再分下列几个情况分析：

Ⅰ。x+y > 1, y+z > 1, z+x > 1
(x+y)^z, (y+z)^x, (z+x)^y > 1
∴ (x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y > 3 > 2

Ⅱ。x+y > 1, y+z > 1, z+x < 1
(x+y)^z, (y+z)^x > 1
∴ (x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y > 2

Ⅲ。x+y > 1, y+z < 1, z+x < 1
(x+y)^z > 1
(y+z)^x + (z+x)^y > y^x + x^y > 1 (待解决！)
∴ (x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y > 2

Ⅳ。x+y < 1, y+z < 1, z+x < 1
待解决！

mathlim

最近又玩了两道不等式：

1。已知 abc = 1 且 a, b, c > 0, 证明 1/(2a+1) + 1/(2b+1) + 1/(2c+1) ≥ 1
2。已知 abc = 1 且 a, b, c > 1/4, 证明 1/(4a-1) + 1/(4b-1) + 1/(4c-1) ≥ 1

kelfaru

小弟也找到一个不等式

已知 x,y,z>0
证明 x^(y+z) + y^(z+x) + z^(x+y) >= 1

kelfaru

最近又玩了两道不等式：

1。已知 abc = 1 且 a, b, c > 0, 证明 1/(2a+1) + 1/(2b+1) + 1/(2c+1) ≥ 1
...
mathlim 发表于 23-10-2010 10:39 AM

1) AM-GM
a+b+c/3 >= (abc)^1/3
Min when a+b+c/3 = (abc)^1/3
abc=1, a=b=c=1
Therefore,
1/(2a+1) + 1/(2b+1) + 1/(2c+1)
=1/3+1/3+1/3 = 1 (min)
∴1/(2a+1) + 1/(2b+1) + 1/(2c+1) ≥  1

2) AM-GM
a+b+c/3 >= (abc)^1/3
Min when a+b+c/3 = (abc)^1/3
abc=1, a=b=c=1
1/(4a-1) + 1/(4b-1) + 1/(4c-1)
=1/3+1/3+1/3 = 1 (min)
∴ 1/(4a-1) + 1/(4b-1) + 1/(4c-1) ≥ 1

小弟第一次学用AM-GM,有错误请纠正~

mathlim

回复 93# kelfaru

不能这样证明的啦！

kelfaru

x^(y+z) + y^(z+x) + z^(x+y) > x^y + y^x > 1 >= 1
mathlim 发表于 24-10-2010 05:49 PM

如何证明
x^y + y^x > 1 ???

mathlim

回复 95# kelfaru

我之前的证明是错的！
x^(y+z) > x^y 只在 x > 1 时成立。

x^y + y^x > 1 也是一个有名的不等式。
我还不会证明。哈哈！

kelfaru

回复  kelfaru

不能这样证明的啦！
mathlim 发表于 24-10-2010 05:47 PM

小弟也不懂呢~
上次小弟发现这种方法行得通,所以就用....
http://cforum1.cari.com.my/viewthread.php?tid=105481&extra=page%3D1&page=3
74楼,
那题也是abcd=1的状况...

puangenlun

已知 abc = 1 且 a, b, c > 0, 证明 1/(2a+1) + 1/(2b+1) + 1/(2c+1) ≥ 1

不等式化简，得到a+b+c>=3，这就是不等式成立的条件
这个条件可以由AM-GM得到，所以不等式成立。

kelfaru

已知 abc = 1 且 a, b, c > 0, 证明 1/(2a+1) + 1/(2b+1) + 1/(2c+1) ≥ 1

不等式化简，得到a+b+c>=3，这 ...
puangenlun 发表于 25-10-2010 01:30 AM

那我的证法可以成立吗???

kelfaru

最近又玩了两道不等式：

1。已知 abc = 1 且 a, b, c > 0, 证明 1/(2a+1) + 1/(2b+1) + 1/(2c+1) ≥ 1
...
mathlim 发表于 23-10-2010 10:39 AM

1/(2a+1) + 1/(2b+1) + 1/(2c+1) - 1 = 2(a+b+c-3)/(2a+1)(2b+1)(2c+1) which is true by AM-GM...

其实跟我之前的证法也一样,从不等式 a+b+c = 3, 这不等式拥有这特征>>>abc=1, a=b=c=1