代数：来玩玩吧

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 17-8-2005 07:07 PM 发表
再来两题！

17)已知 a^2+2b=7 ; b^2+4c=-7 ; c^2+6a=-14 .且a,b,c都为实数

试证明 a^4 + b^4 + c^4 可以被 7 整除。

18)请问共有几个正整数 n ，使到 n^3- 8n^2 + 20n -13 是质数(prime)

18)
n^3 - 8n^2 + 20n - 13
=(n-1)(n^2-7n+13)

n^3 - 8n^2 + 20n - 13 為質數的充分條件為
n-1=1 或
n^2-7n+13=1

解得n=2,3,4
代入n^3 - 8n^2 + 20n - 13檢驗
得解為n=2,3,4

dunwan2tellu

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)
x^2+y^2+z^2=144-96
x^2+y^2+z^2=48
x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx

∵x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx(等號成立僅當x=y=z)
∴x=y=z(等號成立僅當x=y=z)
=>x=y=z=4

不错！这可以证明了！或用＂切比雪不等试＂

12^2 = (x+y+z)(y+z+x) =< 3(xy+yz+xz)=12^2

看出只有x=y=z=4 时是唯一解

原帖由 灰羊 于 17-8-2005 10:54 PM 发表


18)
n^3 - 8n^2 + 20n - 13
=(n-1)(n^2-7n+13)

n^3 - 8n^2 + 20n - 13 為質數的充分條件為
n-1=1 或
n^2-7n+13=1

解得n=2,3,4
代入n^3 - 8n^2 + 20n - 13檢驗
得解為n=2,3,4

又答对了！不愧是灰羊。顺便一提，这是AMC(美国的)的题目。

dunwan2tellu

19)若1/x + 1/y + 1/z = 1/(x+y+z) = 1 . 试证明x,y,z中至少有一个是１

20)若 a 是 一元二次 x^2 - 2005x + 1 = 0 的解，试找出

a^2 - 2004a ＋ 2005/(a^2+1) 的值。

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 18-8-2005 05:38 PM 发表
19)若1/x + 1/y + 1/z = 1/(x+y+z) = 1 . 试证明x,y,z中至少有一个是１

20)若 a 是 一元二次 x^2 - 2005x + 1 = 0 的解，试找出

a^2 - 2004a ＋ 2005/(a^2+1) 的值。

19)
1/x + 1/y + 1/z = 1/(x+y+z) = 1
=>
(xy+yz+zx)/xyz = 1/(x+y+z) = 1
=>
xy+yz+zx=xyz
x+y+z=1

令x,y,z為以下方程式的三個根
r^3 + ar^2 + br + c = 0
=>
a = -1
b = -c
則方程式變為
r^3 - r^2 - cr +c =0
(r-1)(r^2-c)=0
∴x,y,z其中一個為1

20)
由題可得,a^2 - 2005a + 1 = 0
=>
a^2 - 2004a = a-1
2005/(a^2+1) = 1/a

∴a^2 - 2004a ＋ 2005/(a^2+1)
= a - 1 + 1/a
=(a^2 - a + 1)/a
=(2004a)/a
=2004

dunwan2tellu

原帖由 灰羊 于 18-8-2005 11:06 PM 发表


19)
1/x + 1/y + 1/z = 1/(x+y+z) = 1
=>
(xy+yz+zx)/xyz = 1/(x+y+z) = 1
=>
xy+yz+zx=xyz
x+y+z=1

令x,y,z為以下方程式的三個根
r^3 + ar^2 + br + c = 0
=>
a = -1
b = -c
則方程式 ...

是的！19 和 20都解得好！我喜欢19的解

19 另一个方法是将两个equation加起来后分解得
(x-1)(y-1)(z-1)=0 所以x,y,z 必须至少一个是１。不过麻烦在分解罢了:p

dunwan2tellu

这题好玩哦，来玩玩吧！

21)如果存在着实数a,b,c 使到 a-b=8 , ab+c^2 +16 = 0

那么 a^2005 + b^2005 + c^2005 = ?

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 18-8-2005 11:56 PM 发表


是的！19 和 20都解得好！我喜欢19的解

19 另一个方法是将两个equation加起来后分解得
(x-1)(y-1)(z-1)=0 所以x,y,z 必须至少一个是１。不过麻烦在分解罢了:p

19的方法是偷學多普勒的^^

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 19-8-2005 05:05 PM 发表
这题好玩哦，来玩玩吧！

21)如果存在着实数a,b,c 使到 a-b=8 , ab+c^2 +16 = 0

那么 a^2005 + b^2005 + c^2005 = ?

from(1),we get a=8+b
sub a=8+b into (2)
=>
b(8+b)+c^2+16=0
b^2+8b+16+c^2=0
(b+4)^2+c^2=0
=>b=-4,c=0
=>a=4

∴a^2005 + b^2005 + c^2005 = 0

dunwan2tellu

from(1),we get a=8+b
sub a=8+b into (2)
=>
b(8+b)+c^2+16=0
b^2+8b+16+c^2=0
(b+4)^2+c^2=0
=>b=-4,c=0
=>a=4

∴a^2005 + b^2005 + c^2005 = 0

对了！不过我有一个一元二次解法哦！那就是设它的根为 m 和 -n ,再用判别试来找。呵呵！

灰羊

不妨放出來看看???

dunwan2tellu

从 m+(-n)=8 ; m(-n)=l^2 +16 可得一元二次

x2 -8x +(l^2+16)=0 因为有实根所以判别试

64 - 4(l^2+16)>= 0  ---> -l^2 >=0 --> l=0

接着就带入l=0 来找到m=4 , n=-4 .

dunwan2tellu

再来！

22)已知 a+b = 60 , ab=c^2-72c+1920 且 a,b,c都是整数。请找出a,b,c所有的实数解。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 22-8-2005 03:18 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

23)

若a,b都是整数，使到一元二次 x^2 + ax + b + 1 = 0 有自然数解。请问 a^2 + b^2 会是质数(prime)吗？试证明。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 25-8-2005 02:07 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

24)有两兄弟年龄都是不百。当他们把年龄合并时会得到一个４位数，而这４位数正好是平方数。九年后他们再次把年龄合并，得到的４位数同样是个平方数（神气吧！）。请问这两兄弟的原本年龄是几岁呢？

chiaweiwoo1

24)设x=y^2
     x+909=z^2
     z^2-y^2=909
     909=3*303=101*9=909*1
     因为x是4位数，所以z,y都是2位数。
     所以z+y=101,z-y=9
     z=55,y=46
     46^2=2116
     所以他们是21和16岁。

dunwan2tellu

不赖嘛chiaweiwoo1!你成功答对了！（哇塞，已经很久没人来做这些题目了，真的要谢谢你）。顺便试试22和23吧！应该都还未被解！

chiaweiwoo1

设A和B是方程的根。
A+B=-a
AB=b+1
所以a^2+b^2=(A+B)^2+(AB-1)^2
           =A^2+B^2+A^2B^2+1
           =(A^2+1)(B^2+1)
所以a^2+b^2不是prime number.

dunwan2tellu

新的一年新的题目：

(1) 若 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c) , 对于自然数 n , 证明

1/a^(2n+1) + 1/b^(2n+1) + 1/c^(2n+1) = 1/(a+b+c)^(2n+1)


(2)已知 a+b+c=0 且 (b-c)/a + (c-a)/b + (a-b)/c = 0 .证明

(bc+b-c)/(bc)^2 + (ac+c-a)/(ac)^2 + (ab+a-b)/(ab)^2 = 0

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 12-2-2006 07:01 PM 发表
新的一年新的题目：

(1) 若 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c) , 对于自然数 n , 证明

1/a^(2n+1) + 1/b^(2n+1) + 1/c^(2n+1) = 1/(a+b+c)^(2n+1)

1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c)
(ab+bc+ca)/abc=1/(a+b+c)

設a,b,c 為方程式 t^3 + pt^2 + qt + r = 0 的三根
則
a+b+c=-p,ab+bc+ca=q,abc=-r
q/r=1/p
r=pq

t^3 + pt^2 + qt + pq = 0
t(t^2+q)+p(t^2+q)=0
(t+p)(t^2+q)=0
=> a,b,c其中一個為-p

不失一般性,令a=-p
a=a+b+c
即b=-c

所以对于自然数 n ,
1/a^(2n+1) + 1/b^(2n+1) + 1/c^(2n+1) = 1/(a+b+c)^(2n+1)

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 12-2-2006 07:01 PM 发表
(2)已知 a+b+c=0 且 (b-c)/a + (c-a)/b + (a-b)/c = 0 .证明

(bc+b-c)/(bc)^2 + (ac+c-a)/(ac)^2 + (ab+a-b)/(ab)^2 = 0

(b-c)/a + (c-a)/b + (a-b)/c = 0
bc(b-c) + ac(c-a) + ab(a-b)=0
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=0

而(bc+b-c)/(bc)^2 + (ac+c-a)/(ac)^2 + (ab+a-b)/(ab)^2
=[a^2(bc+b-c) + b^2(ac+c-a) + c^2(ab+a-b)]/(abc)^2

分子= [a^2(bc)+b^2(ac)+c^2(ab)] + [a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)]
    = abc(a+b+c) + [a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)]
    = 0
=>(bc+b-c)/(bc)^2 + (ac+c-a)/(ac)^2 + (ab+a-b)/(ab)^2 = 0