问题：不等式

pipi 于 16-7-2004 05:31 PM  说 :
来一题简单的不等式。欢迎大家来试试：

若 a^2+b^2=1,  c^2+d^2=1
求证： ac + bd <= 1 , ad + bd <=1

[ Last edited by pipi on 16-7-2004 at 05:34 PM ]

太简单了啦，没有一点挑战性！！！

我也来一题：
设 a>=c, b>=c, c>=0, 求证
sqrt[c(a-c)] + sqrt[c(b-c)] <= sqrt(ab)
书上抄来的。
它的解法很有趣的！！！

铁蛋

哇，你们一个两个接连二三引诱小弟。。。。好！小弟就快赶玩手头工作，很快就会来陪你们一起爽了！

pipi

sinchee 于 16-7-2004 06:32 PM  说 :
我也来一题：
设 a>=c, b>=c, c>=0, 求证
sqrt[c(a-c)] + sqrt[c(b-c)] <= sqrt(ab)
书上抄来的。
它的解法很有趣的！！！

我想不到解答。。。
不过，若是将题目改成
sqrt[c(a-c)] + sqrt[c(b-c)] <= (a+b)/2
便会简单很多了（当然，我们不假设证到之前的不等式）
。。。

各位试试吧。。。

pipi

sinchee 于 16-7-2004 06:32 PM  说 :
设 a>=c, b>=c, c>=0, 求证
sqrt[c(a-c)] + sqrt[c(b-c)] <= sqrt(ab)

我做到了。。。
不过，等其他网友来试试！！！

pipi

pipi 于 24-5-2004 12:52 PM  说 :
若 x, y, z > 0
求证：
(y/(y+x))^2 + (z/(z+y))^2 + (x/(x+z))^2 >= 3/4

有没有发现到它也可以这样：
若 x, y, z > 0
求证：
(y/(y+x))^3 + (z/(z+y))^3 + (x/(x+z))^3 >= 3/8

pipi

一题不算太难的不等式：
若 x, y, z > 0
求证：
(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2

pipi 于 16-7-2004 05:31 PM  说 :
来一题简单的不等式。欢迎大家来试试：

若 a^2+b^2=1,  c^2+d^2=1
求证： ac + bd <= 1 , ad + bc <=1

[ Last edited by pipi on 16-7-2004 at 06:54 PM ]

已知 a^2 + b^2 = 1, c^2 + d^2 = 1,
2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2
  >= 2ac + 2bd
1 >= ac + bd

2 = a^2 + d^2 + b^2 + c^2
  >= 2ad + 2bc
1 >= ad + bc

pipi

论坛的朋友们，你们不喜欢不等式？？
快来玩玩。。。
sMIL3，情~風，梵谷
你们失踪了吗？？

pipi 于 18-7-2004 04:35 PM  说 :


我想不到解答。。。
不过，若是将题目改成
sqrt[c(a-c)] + sqrt[c(b-c)] <= (a+b)/2
便会简单很多了（当然，我们不假设证到之前的不等式）
。。。

各位试试吧。。。

首先﹐我們知道﹐
如果 x>0 ﹐ y>0﹐那麼 x+y >= 2 sqrt(xy)

當 a >= c ﹐ b >= c ﹐ c >= 0 時﹐
a = c + (a-c) >= 2 sqrt[c(a-c)]
b = c + (b-c) >= 2 sqrt[c(b-c)]
所以﹐
a + b >= 2 sqrt[c(a-c)] + 2 sqrt[c(b-c)]
(a+b)/2 >= sqrt[c(a-c)] + sqrt[c(b-c)]

不好意思﹐又讓我解了。。。

pipi

pipi 于 19-7-2004 09:20 AM  说 :
[quote]sinchee 于 16-7-2004 06:32 PM  说 :
设 a>=c, b>=c, c>=0, 求证
sqrt[c(a-c)] + sqrt[c(b-c)] <= sqrt(ab)

我做到了。。。
不过，等其他网友来试试！！！ [/quote]
既然没有人给答案，我又自得其乐，贴上我的解答：

pipi

pipi 于 16-7-2004 05:31 PM  说 :
来一题简单的不等式。欢迎大家来试试：

若 a^2+b^2=1,  c^2+d^2=1
求证： ac + bd <= 1 , ad + bc <=1

这个问题也可以这样考虑：
设 a = sin x, b = cos x
   c = sin y, d = cos y
你们试试。。。

多普勒效应

呵呵，旧贴重提。

待以后资料充足或pipi老师的资料来了，
就由小弟代劳贴题吧

fritlizt

多普勒效应 于 18-5-2005 11:53 PM  说 :
呵呵，旧贴重提。

待以后资料充足或pipi老师的资料来了，
就由小弟代劳贴题吧

好久没看到 pipi 了。 他去了那里？？
以前有他， 数学论坛好热闹。 呵呵。

kelfaru

再来一题不等式：
若 x, y, z > 0
求证：
(y/(y+x))^2 + (z/(z+y))^2 + (x/(x+z))^2 >= 3/4

3. 若 x, y, z > 0
   求证：
  (i)  (y/(y+x))^2 + (z/(z+y))^2 + (x/(x+z))^2 ≥ 3/4   （已解）（解对者：情~風）
  (ii) (x/(y+z)) + (y/(x+z)) + (z/(x+y)) ≥ 3/2         （已解）（解对者：sinchee，梵谷）
  (iii)(y/(y+x))^3 + (z/(z+y))^3 + (x/(x+z))^3 ≥ 3/8   （待解）
  (iv) (x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2                  （待解）

kelfaru

(ii) (x/(y+z)) + (y/(x+z)) + (z/(x+y)) ≥ 3/2         （已解）（解对者：sinchee，梵谷）

其实这是Nesbitt's Inequality,在wiki有5种证法~

http://en.wikipedia.org/wiki/Nesbitt%27s_inequality

kelfaru

(iv) (x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2                  （待解）

感谢mathlim大大为我们分析了四种状况~



不是很确定last condition的说~

mathlim

你的证明不对啦！
x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0

kelfaru

你的证明不对啦！
x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0
mathlim 发表于 21-10-2010 09:10 PM

其实也一样吧...
不然把x,y,z=0.00000001
等式的答案也是2. ........>2
看看1st condition,我把x,y,z=1,找出它的min value等于6,因为x,y,z不等1,所以最后等式>6
last condition 也是一样的道理,等式最后不等于2,而是>2