University-数学讨论区-Linear Algebra, Advanced Algebra

distantstar

Suppose that F is a field and all F^n are written as column vectors
Let A be an nxn matrice with entry from F, and
W = { B in M_nxn (F) | AB = BA}
Suppose there exists a vector v in F^n such that { v, Av, A^2 v, ........ A^(n-1) n} is a basis for F^n.

Prove that { I, A, A^2, ...., A^(n-1)} is a basis for W.

上面的题目，有谁会证吗？我想来想去就是先不到。。。。。
要证明W is a subspace and { I, A, A^2,.....} is linearly independent是容易的，
可是要怎么证spanning?

distantstar

这个帖子蛮冷的。。。。。难道没有人对大学数学有兴趣？？

对了，麻烦大家了，前一题已经找到解答了。

DADDY_MUMMY

原帖由 distantstar 于 22-11-2008 04:38 PM 发表
Suppose that F is a field and all F^n are written as column vectors
Let A be an nxn matrice with entry from F, and
W = { B in M_nxn (F) | AB = BA}
Suppose there exists a vector v in F^n such tha ...

既然你已经证明{ I, A, A^2,.....} is linearly independent，c1=c2=c3=...=0
现在你可以证明A可以form成L.Combination,不懂对不对

puangenlun

我只学了advanced algebra , 没有学 abstract algebra .

老师将我们下两届的学生会学到。

交同样的学费，学少东西，rugi了。

教我们advanced algebra 的老师根本是乱来，我基本上没有学好。

~HeBe~_@

你在Advanced Algebra学些什么的？

puangenlun

就学一些基本的，至少比 linear algebra 深一些。

第一章 多项式
第二章 行列式
第三章 线性方程组
第四章 矩阵
第五章 二次型
第六章 线性空间
第七章 线性变换
第八章 λ-矩阵
第九章 欧几里得空间
第十章 双线性函数
第十一章 代数基本概念介绍
附录 关于连加号“∑”

[ 本帖最后由 puangenlun 于 12-12-2008 03:55 PM 编辑 ]

distantstar

原帖由 DADDY_MUMMY 于 5-12-2008 05:06 PM 发表


既然你已经证明{ I, A, A^2,.....} is linearly independent，c1=c2=c3=...=0
现在你可以证明A可以form成L.Combination,不懂对不对

线形无关不代表spanning,你要证明的是任何subspace里的元素都可以
表示成the linear combination of the set above.

hint:  consider the mapping v ----- > Bv.

汉王

个位大大你们可以解释什么是
basic
linear combination
generating
linearly independent最好可以用华语和英文解释!谢

~龍兒~

问题:
1. 如果问题给我３个vector,要prove 3 vectors on the same plane.怎样prove??

2. 也是given 3 vectors, 要怎样找equation of the plane?

~龍兒~

还有，我很多问题要问。可以帮我看下哪里出错吗？
拿不到老师的答案....

以下是题目:



这是我的solution:




这是老师的答案:




只是matrix A罢了。为什么他答案for eigenspace有 t 和 s 的？

~龍兒~

这种题目又该怎么做??

题目:






我完全没头绪

~龍兒~

还有两题....





8a)做了可是不确定

puangenlun

原帖由 ~龍兒~ 于 20-4-2009 06:07 PM 发表
问题:
1. 如果问题给我３个vector,要prove 3 vectors on the same plane.怎样prove??

2. 也是given 3 vectors, 要怎样找equation of the plane?

1.vector pq r 可以写成 ap+bq=r

2.这个问题似乎有问题。应该是经过3个points 或者 parallel两个vectors+经过1个point。
   如果是两个vectors+经过1个point，那么解法如下
   vectors (p,q,r),(s,t,u),point(a,b,c)
      | i   j  k |
      | s  t  u |=(m,n,o)   <=(det的计算结果)
      | p q  r |
    plane 的equation 为 m*(x-a)+n*(y-b)+o*(z-c)=0
    整理一下即可

puangenlun

原帖由 ~龍兒~ 于 20-4-2009 06:37 PM 发表
还有，我很多问题要问。可以帮我看下哪里出错吗？
拿不到老师的答案....

以下是题目:



...

因为matrix是3*3的
所以有3个eigenvector
Lambda=1是power=2的，所以有两个eigenvector
Lambda=3是power=1的，所以有一个eigenvector
(-1,1,0)和(0,0,1)都是满足x1+x2=0的
所以都是x1+x2=0的答案，也就是Lambda=1的两个eigenvector
对于Lambda=3做同样的处理，可以得到一个eigenvector
将三个eigenvector竖着并排成一个3*3的matrix即P

puangenlun

原帖由 ~龍兒~ 于 20-4-2009 06:42 PM 发表
这种题目又该怎么做??

题目:


http://img141.imageshack.us/img141/9462/p1010029gac.j ...

只要验证(a b c)+(p q r)=(a+p b+q c+r)以及k(a b c)=(ka kb kc)是否满足即可
2，3对
1，4错

puangenlun

原帖由 ~龍兒~ 于 20-4-2009 06:52 PM 发表
还有两题....





8a)做了可是不确定

http://img141.imageshack.us/img141/9056/p101 ...

8a做对了
会做8a
then8b，9a，9b也是一样的
算两条运算是否满足就可以了

~龍兒~

原帖由 puangenlun 于 21-4-2009 11:07 AM 发表


因为matrix是3*3的
所以有3个eigenvector
Lambda=1是power=2的，所以有两个eigenvector
Lambda=3是power=1的，所以有一个eigenvector
(-1,1,0)和(0,0,1)都是满足x1+x2=0的
所以都是x1+x2=0的答案，也就是La ...

不明白....所以eigenvalue=1有两个eigenspace.为什么一定是lamda=1的哪个leh?

~龍兒~

原帖由 puangenlun 于 21-4-2009 11:20 AM 发表


8a做对了
会做8a
then8b，9a，9b也是一样的
算两条运算是否满足就可以了

可是8b 的b=a+c 该怎么办？
9a, 9b怎样开始?

puangenlun

原帖由 ~龍兒~ 于 21-4-2009 03:30 PM 发表


不明白....所以eigenvalue=1有两个eigenspace.为什么一定是lamda=1的哪个leh?

你算的时候是(lamda-1)(lamda-1)(lamda-3)=0 不是吗？
你有两个lamda=1，所以有两个eigenvector。

puangenlun

原帖由 ~龍兒~ 于 21-4-2009 03:35 PM 发表



可是8b 的b=a+c 该怎么办？
9a, 9b怎样开始?

8B。算(a b c)+(d e f)=(a+d b+e c+f)
         其中b=a+c,e=d+f
         所以满足加法
         k(a b c)=(ka kb kc)
         其中kb=ka+kc
         所以满足乘法
         因此8B定义的东西是子空间

剩下的一样做