代数：来玩玩吧

dunwan2tellu

SelinaKhoo ，我之所以出长的题目是因为酱读起来比较亲切,比较自然咯！若你不想做长的题目，大可选短的来做....

多普勒效应

个人认为，
数学不是比赛的工具，
比赛只是培养兴趣的起点...

顺便问下，
SelinaKhoo 在OMK夺过荣誉吗？

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 24-7-2005 06:43 PM 发表
１２）２００３年初（既１月１日）我的两个朋友同时进入一家公司上班。这家公司的员工福利也真好，竟然给员工那么多天假期。就拿朋友A来说，他竟然每工作３天就放１天假。朋友B也差不多，每工作５天就放３天假。真 ...

2003年頭到2005年尾
共365+366+365=1096天
LCM(4,8)=8
就是說他們共同休息時間以8天為週期
8天裡面,他們去kopitiam的次數有1次(硬算出來的)
於是他們去kopitiam的次數=[1096/8] []為高斯函數
                        =137次

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 24-7-2005 05:19 PM 发表
１１）若a^2 + b^2 =1 , c^2 + d^2 = 1 , ac+bd=1 ,试找出
(i)ac-bd
(ii)a^2 + d^2
(iii)b^2 +c^2

不失一般性
設 a=sinx,b=cosx,c=siny,d=cosy
ac+bd=1
sinxsiny+cosxcosy=1
cos(x-y)=1
x-y=0
x=y
∴a=c,b=d
就只做到這樣...

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 23-7-2005 01:49 AM 发表
好吧，这次就考考你们的分解功力！

7)试分解
(i)a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2)(b^2) - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)
(ii)(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3

(i)
a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2)(b^2) - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)
=a^4 - 2(a^2)(b^2) + b^4 + c^4 - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)
=[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^2)[(a^2)+(b^2)] + c^4
=[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^2)[(a^2)-(b^2)] + c^4 - 4b^2
=[(a^2)-(b^2)-(c^2)]^2 - 4b^2
=[(a^2)-(b^2)-(c^2) + 2b][(a^2)-(b^2)-(c^2) -2b]

(ii)
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3
=[(a-b)+(b-c)][(a-b)^2 + (b-c)^2 - (a-b)(b-c)] + (c-a)^3
=(a-c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 - (a-b)(b-c) - (a-c)^2]
=(a-c)[(a-b+a-c)(a-b-a+c) + (b-c)^2 - (a-b)(b-c)]
=(a-c)[(2a-b-c)(c-b) + (b-c)^2 - (a-b)(b-c)]
=(a-c)(b-c)[(b+c-2a) + (b-c) - (a-b)]
=(a-c)(b-c)(3b-3a)
=3(a-c)(b-c)(b-a)
=3(a-b)(b-c)(c-a)
(好看一點)

[ 本帖最后由 灰羊 于 14-8-2005 06:10 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 灰羊 于 14-8-2005 06:04 PM 发表


(i)
a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2)(b^2) - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)
=a^4 - 2(a^2)(b^2) + b^4 + c^4 - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)
=[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^2)[(a^2)+(b^2)] + c^4
=[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^ ...

(ii)的答对了！(i)的有点小错误哦。

原帖由 灰羊 于 14-8-2005 05:51 PM 发表

2003年頭到2005年尾
共365+366+365=1096天
LCM(4,8)=8
就是說他們共同休息時間以8天為週期
8天裡面,他們去kopitiam的次數有1次(硬算出來的)
於是他們去kopitiam的次數=[1096/8] []為高斯函數
            ...

是的，你的答案对了！恭喜你！

dunwan2tellu

原帖由 灰羊 于 14-8-2005 05:58 PM 发表


不失一般性
設 a=sinx,b=cosx,c=siny,d=cosy
ac+bd=1
sinxsiny+cosxcosy=1
cos(x-y)=1
x-y=0
x=y
∴a=c,b=d
就只做到這樣...

这招好用！呵呵！灰羊兄，你已经得到重要的线索了 a=c,b=d . 再来动动脑筋把这result运用在题目上即可。我没想到还有这一招，当初我只是直接用(a^2+b^2)乘(c^2+d^2)来做。

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 14-8-2005 07:55 PM 发表


(ii)的答对了！(i)的有点小错误哦。



是的，你的答案对了！恭喜你！

錯在何處
勞煩指點

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 24-7-2005 05:19 PM 发表
１１）若a^2 + b^2 =1 , c^2 + d^2 = 1 , ac+bd=1 ,试找出
(i)ac-bd
(ii)a^2 + d^2
(iii)b^2 +c^2

不失一般性
設 a=sinx,b=cosx,c=siny,d=cosy
ac+bd=1
sinxsiny+cosxcosy=1
cos(x-y)=1
x-y=0
x=y
∴a=c,b=d

(i)
ac-bd=sinxsiny-cosxcosy
     =sin^x-cos^x
     =a^2-b^2
還是卡著....

(ii)(iii)明顯是1

dunwan2tellu

原帖由 灰羊 于 14-8-2005 08:42 PM 发表

錯在何處
勞煩指點

错在这步
＝[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^2)[(a^2)-(b^2)] + c^4 - 4b^2

dunwan2tellu

不好意识，当我check回题目时发现题目是找ad-bc .... 不过我尝试过找ac-bd，应该是无法得到个实数解。

dunwan2tellu

不好意识，当我check回题目时发现题目是找ad-bc .... 不过我尝试过找ac-bd，应该是无法得到个实数解。

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 14-8-2005 09:03 PM 发表


错在这步
＝[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^2)[(a^2)-(b^2)] + c^4 - 4b^2

=a^4 - 2(a^2)(b^2) + b^4 + c^4 - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)
=[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^2)[(a^2)+(b^2)] + c^4
=[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^2)[(a^2)-(b^2)] + c^4 - 4(b^2)(c^2)
=[(a^2)-(b^2)-(c^2)]^2 - 4(b^2)(c^2)
=[(a^2)-(b^2)-(c^2)+2bc][(a^2)-(b^2)-(c^2)-2bc]

最近真是瞎了眼...
還有那題還沒解的嗎??
dunwan2tellu你今年是考STPM吧?

[ 本帖最后由 灰羊 于 15-8-2005 11:16 PM 编辑 ]

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 15-8-2005 11:03 PM 发表
不好意识，当我check回题目时发现题目是找ad-bc .... 不过我尝试过找ac-bd，应该是无法得到个实数解。

ad-bc=0
ac-bd是沒有解的....條件不足

dunwan2tellu

原帖由 灰羊 于 15-8-2005 11:11 PM 发表



=a^4 - 2(a^2)(b^2) + b^4 + c^4 - 2(a^2)(c^2) - 2(b^2)(c^2)
=[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^2)[(a^2)+(b^2)] + c^4
=[(a^2)-(b^2)]^2 - 2(c^2)[(a^2)-(b^2)] + c^4 - 4(b^2)(c^2)
=[(a^2)-(b^2)-(c^2)]^2 -  ...

灰羊，再继续做下去回发现到

＝[a^2-(b+c)^2][a^2-(b-c)^2]= .....

其实还可以再分解哦！

我是今年lower six,明年才考STPM . 还未解的题目就看第一页题目旁没有笑脸图形的就是咯(No . 3,15,16)！

好吧，我又看到一题有趣的

16)请找出所有x,y,z的正实数解(x,y,z <-R+ )

x + y + z = 12
xy + xz + yz = 48

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 16-8-2005 08:39 PM 编辑 ]

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 16-8-2005 08:36 PM 发表


灰羊，再继续做下去回发现到

＝[a^2-(b+c)^2][a^2-(b-c)^2]= .....

其实还可以再分解哦！

我是今年lower six,明年才考STPM . 还未解的题目就看第一页题目旁没有笑脸图形的就是咯(No . 3,15,16)！
...

對喔對喔我真是老懵懂了!

灰羊

16)请找出所有x,y,z的正实数解(x,y,z <-R+ )

x + y + z = 12
xy + xz + yz = 48

xy+yz+zx=4(x+y+z)
x(y-4)+y(z-4)+z(x-4)=0
∵x,y,z屬於正實數,且x≠y≠z≠0
∴x=y=z=4

dunwan2tellu

16)请找出所有x,y,z的正实数解(x,y,z <-R+ )

x + y + z = 12
xy + xz + yz = 48

xy+yz+zx=4(x+y+z)
x(y-4)+y(z-4)+z(x-4)=0
∵x,y,z屬於正實數,且x≠y≠z≠0
∴x=y=z=4

x=y=z=4固然是唯一解。不过这方法如何证明当任何x,y,z在范围(0,4)时都不会有解呢？

dunwan2tellu

再来两题！

17)已知 a^2+2b=7 ; b^2+4c=-7 ; c^2+6a=-14 .且a,b,c都为实数

试证明 a^4 + b^4 + c^4 可以被 7 整除。

18)请问共有几个正整数 n ，使到 n^3- 8n^2 + 20n -13 是质数(prime)

灰羊

原帖由 dunwan2tellu 于 16-8-2005 11:14 PM 发表
x=y=z=4固然是唯一解。不过这方法如何证明当任何x,y,z在范围(0,4)时都不会有解呢？

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)
x^2+y^2+z^2=144-96
x^2+y^2+z^2=48
x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx

∵x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx(等號成立僅當x=y=z)
∴x=y=z(等號成立僅當x=y=z)
=>x=y=z=4