数学训练（十二月份）

灰羊

yellowrain 于 16-12-2004 02:01  说 :
你們這些樹學都是華文的.......
我們這些國中生怎麼解啊!!!!!!

中文更容易理解題目吧?
雨,名詞不會可以問我^^

灰羊

多普勒效应 于 12-12-2004 00:35  说 :
26/11/2004,星期五
高中 (B44)
a_i 是正整数   i=1,2,3,...,n
已知 a_1 + a_2 + ... + a_n = 2002
求 (a_1)(a_2)...(a_n)的最大值。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

多,這樣行嗎?

2002分成a_1到a_n共n個數,且a_i為正整數(i=1,2,..,n)
由算幾不等式得
僅當a_1=a_2=...=a_n時,(a_1)(a_2)...(a_n)有最大值
但a_1=a_2=...=a_n≠1
=> a_1=a_2=...=a_n=2(下一個自然數)
∴ (a_1)(a_2)...(a_n)的最大值=2^1001

微中子

多普勒效应 于 12-12-2004 12:35 AM  说 :
初中(A46)

20 个重复一次

怎么算?
那20又是怎样的?

灰羊 于 16-12-2004 01:15  说 :

xyz=5(x+y+z),且x,y,z為質數
∴x,y,z必有一個是5
不失一般性,令x=5,則
yz=5+y+z
yz-y-z=5
y(z-1)-z=5
y(z-1)-z+1=6
(y-1)(z-1)=6
(y-1)(z-1)=1*6   or (y-1)(z-1)=2*3
解得y=2,z=7           無質數解 ...

除了(x,y,z)=(5,2,7)外，
應該還有5組
∴(x,y,z)=(5,7,2)、(2,5,7)、(2,7,5)、(7,2,5)、(7,2,5)

灰羊 于 16-12-2004 01:15  说 :

xyz=5(x+y+z),且x,y,z為質數
∴x,y,z必有一個是5
不失一般性,令x=5,則
yz=5+y+z
yz-y-z=5
y(z-1)-z=5
y(z-1)-z+1=6
(y-1)(z-1)=6
(y-1)(z-1)=1*6   or (y-1)(z-1)=2*3
解得y=2,z=7           無質數解 ...

【更正】
除了(x,y,z)=(5,2,7)外，
應該還有5組
∴(x,y,z)=(5,7,2)、(2,5,7)、(2,7,5)、(7,2,5)、(7,5,2)

從 1 開始的若干個連續自然數的和等於一個各位數位相同的三位元數（每個數位都一樣）。問，應取幾個連續自然數？

設從1到n連續自然數的和為aaa（其中a為一位正整數）
1/2×n(n＋1)＝111×a
n(n＋1)＝2×3×37×a
顯然a＝6
則n＝36

灰羊

430201 于 16-12-2004 20:30  说 :
【更正】
除了(x,y,z)=(5,2,7)外，
應該還有5組
∴(x,y,z)=(5,7,2)、(2,5,7)、(2,7,5)、(7,2,5)、(7,5,2)

x,y,z有輪換性,只須找到一組
再任意互換即可
三個中排列三個,共有3!=6種排法

[ Last edited by 灰羊 on 17-12-2004 at 05:03 PM ]

灰羊 于 17-12-2004 17:01  说 :

x,y,z有輪換性,只須找到一組
再任意互換即可
三個中排列三個,共有3!=6種排法

[ Last edited by 灰羊 on 17-12-2004 at 05:03 PM ]

觀念完全正確
但沒寫出來就是瑕疵

灰羊

話說回來怎麼題目都沒更新呢???

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
16/12/2004 星期四
高中(B49)
解方程
3^(2x) - 34[15^(x-1)] + 5^(2x) = 0
（待解）
（答案：）
（解对者：）

設x-1=k,則x=k+1
則原式化為
3^(2k+2) - 35*15^k + 5^(2k+2)=0
9*3^(2k) - 35*15^k + 25*5^(2k)=0
(3^k-5^k)(9*3^k-25*5^k)=0
3^k=5^k     3^(k+2)=5^(k+2)
解得k=0     解得k=-2
=> k=0或k=-2
=> x=1或x=-1

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
17/12/2004 星期五
高中(B50)
a,b 是正整数，
若 a+b = 30030
证明 ab 不可以被 30030 整除。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

設ab=30030k,則
k(a+b)=ab
a(k-1)+b(k-1)=0
∵a,b為正整數
=> k=1
∴ab=30030

∵a+b=ab只有唯一正整數解(2,2)
顯然a≠b≠2,矛盾

∴ab不是30030的倍數

铁蛋

寂寞的假期。。。来，试试！

1x1! + 2x2! + 3x3! + ... + nxn! = ?

有几个方法，看看大家的回复

多普勒效应

铁蛋 于 20-12-2004 02:45 PM  说 :
寂寞的假期。。。来，试试！

1x1! + 2x2! + 3x3! + ... + nxn! = ?

有几个方法，看看大家的回复

（一）
i x i! = i! ( i+1-1)=(i+1)! - i!
所以
1 x 1! + 2x2! + ...  + n x n!
= 2!-1! + 3!-2! + ... + (n+1)!-n!
= (n+1)!-1

（二）
直接用归纳法
当 n=1左式等于右式 = 1
设 n = k 时等式成立
1 x 1! + 2x2! + ...  + k x k! + (k+1) x (k+1)! = (k+1)!-1 + (k+1) x (k+1)!
                                                               = (k+2)!-1
所以等式成立当 n 是正整数。

灰羊

多普勒效应 于 20-12-2004 18:35  说 :
（一）
i x i! = i! ( i+1-1)=(i+1)! - i!
所以
1 x 1! + 2x2! + ...  + n x n!
= 2!-1! + 3!-2! + ... + (n+1)!-n!
= (n+1)!-1

（二）
直接用归纳法
当 n=1左式等于右式 = 1
设 n = k 时等式成 ...

利害!
多出一點題目啦

铁蛋

哈哈，不愧是坛主，两招就解决了！

这个问题采自＂Counting＂，新大教授 Koh Khee Meng 著。书里讲解一些关于＂Combinatorial thinking＂的概念。

原本小弟也只是纯粹从代数和归纳法的角度来看这个问题，可是这就没有发挥到＂Combinatorial thinking＂。后来想想，觉得以下的做法有采用到这个概念。

考虑 (n+1) 个整数 (1,2,...,n+1). 总 共有(n+1)! 个方法来排 . 考虑开头是(2,3,...,n+1)digit的排法，共有 n x n! 个. 那么就只剩下开始是 1 的排法了. 这个子集的第二个 digit 共有 n 种 (2,3,...,(n+1) ), 所以第三个digit 到 (n+1) digit 共有 (n-1)! 排法. 开头是 1 的排法总共有 n x (n-1)! . 所以:

(n+1)! = n x n! + n x (n-1)! = n x n! + (n-1) x (n-1)! x (n-1)!

对 (n-1)! 以下重复以上的做法就得解.这是小弟的一个尝试。。。希望还不是太难明白，如果有更清晰的说法，欢迎讨论指教！

[ Last edited by 铁蛋 on 21-12-2004 at 12:37 PM ]

灰羊

好無聊阿~~~
沒新題目...微中子你去了哪~~~~ T_T

20/12/2004 星期一
初中(A52)
x 为何值时， f(x)=(x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + ... + (x-a_n)^2
取最小值？

f(x)＝nx^2－2(a_1＋a_2＋…＋a_n)＋﹝(a_1)^2＋(a_2)^2＋…＋(a_n)^2﹞
配方，可得
當x＝(a_1＋a_2＋…＋a_n)/n時，f(x)有最小值。

21/12/2004 星期二
初中(A53)
化简
√[x + 4√(x+1) +5] + √[x + 6√(x+1) + 10]

∵x + 4√(x+1) +5
＝(x＋1)＋ 4√(x+1) +4
＝[√(x+1)]^2＋2*√(x+1)*2＋2^2
＝[√(x+1)＋2]^2

又x + 6√(x+1) +10
＝(x＋1)＋ 6√(x+1) +9
＝[√(x+1)]^2＋2*√(x+1)*3＋3^2
＝[√(x+1)＋3]^2

∴√[x + 4√(x+1) +5] + √[x + 6√(x+1) + 10]
＝[√(x+1)＋2]＋[√(x+1)＋3]
＝2√(x+1)＋5

23/12/2004 星期四
高中(B52)
化简
3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)

1999!+2000!+2001!
＝1999!+2000×1999!+2001×2000×1999!
＝(1＋2000＋2001×2000)×1999！
＝(2001＋2001×2000)×1999！
＝2001×(1＋2000)×1999！

∵n！＋(n＋1)！＋(n＋2)！
＝n！＋(n＋1)×n！＋(n＋2)×(n＋1)×n！
＝﹝1＋(n＋1)＋(n＋2)×(n＋1)﹞×n！
＝﹝(n＋2)＋(n＋2)×(n＋1)﹞×n！
＝(n＋2)×﹝(1＋(n＋1))×n！
＝(n＋2)×﹝n！＋(n＋1)！﹞
∴(n＋2)/ ﹝n！＋(n＋1)！＋(n＋2)！﹞
＝1/﹝n！＋(n＋1)！﹞
故3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)
＝1/(1！＋2！)＋1/(2！＋3！)＋…＋1/(1999！＋2000！)

多普勒效应

430201 于 26-12-2004 10:08 AM  说 :
23/12/2004 星期四
高中(B52)
化简
3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)

1999!+2000!+2001!
＝1999!+2000×1999!+2001×2000×1999!
＝(1＋2000＋2001×2000)×1999！
＝(20 ...

这不算化得很简吧...
答案可以更简单的......