■ 不等式证明题 ■

mathlim

原帖由 Ivanlsy 于 8-11-2008 12:01 AM 发表
不错哦！其实我在回复之后也有注意到这点，不过懒惰修改。
下季《每周一题》等着你~

这不是做学问的态度！
我三更半夜躺在床上想到错误，
都会爬起来改呢！

mathlim

a² + b² ≥ 2ab
a + b - c > 0

( a² + b² )( a + b - c ) ≥ 2ab( a + b - c )
a³ + b³ + 2abc ≥ a²b + b²a + a²c + b²c

同理
b³ + c³ + 2abc ≥ b²c + c²b + b²a + c²a
c³ + a³ + 2abc ≥ c²a + a²c + c²b + a²b

三式相加
a³ + b³ + c³ + 3abc ≥ a²b + b²a + b²c + c²b + c²a + a²c
3abc ≥ ( a²b + a²c - a³ ) + ( b²c + b²a - b³ ) + ( c²a + c²b - c³ )
3abc ≥ a²(b + c - a) + b²(c + a - b) + c²(a + b - c)

∴ a²(b + c - a) + b²(c + a - b) + c²(a + b - c) ≤ 3abc

这个不等式的证明，
的确需要用到三角形任意两边之和大于另一边的条件。
但是根据我的观察与检验，
没有这个条件，而只要a, b, c为任意正实数，
这个不等式都成立。
可是我想了很久都证不出来！

Ivanlsy

好的！我会修正这个惰性。

朗木寺

原帖由 mathlim 于 5-11-2008 01:19 PM 发表
今天，又遇到一道题。

已知a,b,c为一三角形的三边长，试证明：

a²(b+c-a) + b²(c+a-b) + c²(a+b-c) ≤ 3abc

我觉得条件只需 a,b,c ≥ 0 就可以了。

hamilan911是不等式高手，出手相救吧！ ...

无需三角形边长条件的方法：

由轮换对称性，不妨设 a ≧b≧c

a²(b+c-a)-abc=a[a(b+c-a)-bc]
                        =a(ab+ac-a²-bc)
                        =a(ab-a²+ac-bc)
                        =a[a(b-a)+c(a-b)]
                        =a(a-b)(c-a)
同理可得
b²(c+a-b)-abc=b(b-c)(a-b)
c²(a+b-c)-abc=c(c-a)(b-c)

三式相加，得到

a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)
=(a-b)[a(c-a)+b(b-c)]+c(c-a)(b-c)
=(a-b)(ac-a²+b²-bc)+c(c-a)(b-c)
=(a-b)[(ac-bc)-(a²-b² )]+c(c-a)(b-c)
=(a-b)[c(a-b)-(a-b)(a+b)]+c(c-a)(b-c)
=(a-b)²(c-a-b)+c(c-a)(b-c)

由于c-a-b 与 c-a 都小于0，因此上式小于0，原式得证。

[ 本帖最后由 朗木寺 于 8-11-2008 10:05 PM 编辑 ]

shingrons

原帖由 朗木寺 于 7-11-2008 11:44 PM 发表 另外一个做法：a,b,c必有一个大于0，不妨设是a,b+c=-abc=1/ab,c为方程 x^2+ax+1/a=0的两根整理得到  ax^2+a^2 (x)+1=0b,c为实数，因此(a^2)^2-4(a)(1)≧0a(a^3-4)≧0a不小于0，因此a≧4^(1/3) ...

很好的巧解。一个尤其对付轮换对称题目的手段。Cauchy Inequality可用类似quadratic equation的方法凑成。

mathlim

又多了一位高手互相交换心得。

mathlim

c = -a-b, ab=1/c
c = -a-b >= 2sqrtab = 2sqrt[1/c]
c^2 >= 4/c
c^3 - 4 >= 0
get c >= 4^1/3 > 3/2
hamilan911 发表于 14-10-2008 05:37 PM

这个证明有疑点！
a + b ≥ 2√(ab) 成立于 a,b ≥ 0

-a-b ≥ 2√(ab) 未必成立。

mathlim

1．已知 x > 0, y > 0 且 2x + y = 1,
   求 1/x + 1/y 的最小值。
  ...
mathlim 发表于 17-10-2008 03:54 PM

最近我研究不等式时发现了柯西不等式，蛮好用的！

(1/x + 1/y) = (1/x + 1/y)(2x + y) ≥ (√2 + 1)^2 = 3 + 2√2

dunwan2tellu

这个证明有疑点！
a + b ≥ 2√(ab) 成立于 a,b ≥ 0

-a-b ≥ 2√(ab) 未必成立。
mathlim 发表于 27-4-2010 09:57 AM

只要稍微改一点他的证明就行得通了。

由于 a+b+c=0, abc=1, 所以其中两个一定是负数，另一个是正数。假设

c > 0 > b >= a

那么它的方法就没问题了。

mathlim

回复 49# dunwan2tellu

没错！
这些条件不写清楚，我的老师一分都不给的！

kelfaru

回复  dunwan2tellu

没错！
这些条件不写清楚，我的老师一分都不给的！
mathlim 发表于 27-4-2010 11:22 PM

mathlim 你是独中的吗???

kelfaru

用cauchy inequality,

[a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b)][(b+c) + (a+c) + (a+b)] >= (a+b+c)^2
所以 ...
hamilan911 发表于 4-10-2008 01:18 AM

酱证法好像过于容易,不过说真的,柯西不等式的确省了很多麻烦...
但如果在考试时,有些考官不懂你在写什么吧...

mathlim

回复 51# kelfaru


    是的！我是道道地地的独中生。

多普勒效应

此外, mathlim 还是许许多多独中生的宗师

kelfaru

回复  kelfaru


    是的！我是道道地地的独中生。
mathlim 发表于 13-6-2010 07:20 AM

哇!!!独中的程度就是不一样,我在中六的数学也只是靠死做做出来的...老师也没有仔细的解释清楚...在学校只有靠自己和朋友...

mathlim

多普勒效应言重了！

kelfaru

小弟这里有问题想请教,
Integrate x^3(x^2-1)^(2/3) dx, limit is 0(top) and -1(below)

怎么不能用计算机检查答案???

kelfaru

对不起,有个问题...
怎样上载图画???

50912cmea

对不起,有个问题...
怎样上载图画???
kelfaru 发表于 15-6-2010 08:59 PM

   Kelfaru 大大，请看 http://cforum3.cari.com.my/viewthread.php?tid=519355&extra=page%3D1

kelfaru

回复 57# kelfaru

这个比较清楚...