STPM-学校功课討論区

mathlim

F(2n) = -2f(n), f(2n+1) = f(n) - 1 and f(0) = 2, find the value of f(2007)。

首先，我想纠正错误。
题目应该是：
f(2n) = -2f(n),(n≠0), f(2n+1) = f(n) - 1 and f(0) = 2, find the value of f(2007)。
如果 n = 0, f(2n) = -2f(n) 得 f(0) = -2f(0)，
但是 f(0) = 2，则 2 = -2×2。矛盾！

f(2007) = f(1003) - 1
f(1003) = f(501) - 1
f(501) = f(250) - 1
f(250) = -2f(125)
f(125) = f(62) - 1
f(62) = -2f(31)
f(31) = f(15) - 1
f(15) = f(7) - 1
f(7) = f(3) - 1
f(3) = f(1) - 1
f(1) = f(0) – 1
f(0) = 2
f(1) = 1
f(3) = 0
f(7) = -1
f(15) = -2
f(31) = -3
f(62) = 6
f(125) = 5
f(250) = -10
f(501) = -11
f(1003) = -12
f(2007) = -13

mathlim

其实，还要加上另外一些条件。
比如：
f(2n+1) = f(n) - 1
n = -1
f(-1) = f(-1) - 1 也是不合理。

darksider

原帖由 mathlim 于 2008/5/14 05:12 PM 发表
F(2n) = -2f(n), f(2n+1) = f(n) - 1 and f(0) = 2, find the value of f(2007)。

首先，我想纠正错误。
题目应该是：
f(2n) = -2f(n),(n≠0), f(2n+1) = f(n) - 1 and f(0) = 2, find the value of f(2007)。
...

谢谢，等一下再研究！



这题是stpm 02的问题，应该是已经被modified了，7题里面唯一solve不到的题目，希望你会教我，谢谢！

mathlim

原帖由 darksider 于 14-5-2008 06:08 PM 发表


谢谢，等一下再研究！



这题是stpm 02的问题，应该是已经被modified了，7题里面唯一solve不到的题目，希望你会教我，谢谢！

这一道题也是条件不足，必须注明：a, b为有理数。
√(57 + 12√15) = √(57 + 2√540)
= √ [ 45 + 12 + 2√(45×12) ]
= √45 + √12
= 3√5 + 2√3
∴ a = 3, b = 2。

darksider

原帖由 mathlim 于 2008/5/15 12:04 AM 发表


这一道题也是条件不足，必须注明：a, b为有理数。
√(57 + 12√15) = √(57 + 2√540)
= √ [ 45 + 12 + 2√(45×12) ]
= √45 + √12
= 3√5 + 2√3
∴ a = 3, b = 2。

谢谢！
我不知用了多少steps来做，原来那么几个steps就能完成了
我的老师叫我们let √(57 + 12√15) = √x + √y, 他的steps真的很long-winded。

我的basic不够强，现在读者外国参考书学过，解决方法比大马教育系统来的好，更清楚。

mathlim

原帖由 darksider 于 15-5-2008 04:50 PM 发表
谢谢！
我不知用了多少steps来做，原来那么几个steps就能完成了
我的老师叫我们let √(57 + 12√15) = √x + √y, 他的steps真的很long-winded。
我的basic不够强，现在读者外国参考书学过，解决方法比 ...

你的老师是要求你们按正统方法处理。
其实做法的实质是一样的。
let √(57 + 12√15) = √x + √y
57 + 12√15 = x + y + 2√xy
57 + 2√540 = x + y + 2√xy
x + y = 57 —— （1）
xy = 540 ——（2）

而我是直接观察出 45+12 = 57，45×12 = 540。

darksider

原帖由 mathlim 于 2008/5/16 08:41 AM 发表


你的老师是要求你们按正统方法处理。
其实做法的实质是一样的。
let √(57 + 12√15) = √x + √y
57 + 12√15 = x + y + 2√xy
57 + 2√540 = x + y + 2√xy
x + y = 57 —— （1）
xy = 540 ——（2）
...

原来如此，若问题是 √(57 - 12√15)
我得let √(57 - 12√15) = √x + √y 还是 √x - √y ？

我问他，他告诉我这是trial and error的做法（明白后，差不多square root surd的题目我都三四个step做完，真的谢谢你），他说他能接受，但其他老师如stpm marker就不懂了。

我这里有一题log的solve不到 - solve the equations x-2y = 0 , (1- log of y to the base 2)log of x to the base 2 =1

谢谢！我会自己try，但都会用到很多steps。

mathlim

原帖由 darksider 于 17-5-2008 10:30 AM 发表
原来如此，若问题是 √(57 - 12√15)
我得let √(57 - 12√15) = √x + √y 还是 √x - √y ？

我问他，他告诉我这是trial and error的做法（明白后，差不多square root surd的题目我都三四个step做完，真的谢谢你），他说他能接受，但其他老师如stpm marker就不懂了。

当然是 let  √(57 - 12√15) = √x - √y。

x + y = 57 —— （1）
xy = 540 ——（2）
由（1）y = 57 - x 带入（2）
x（57 - x）= 540
x² - 57x + 540 = 0
因式分解也是trial and error。
实质上还是一样的，只是形式上不一样。
能够真正领悟的人没有几个！
除非你用配方法或公式法，
那就不是trial and error了。

darksider

原帖由 mathlim 于 2008/5/17 01:23 PM 发表


当然是 let  √(57 - 12√15) = √x - √y。

x + y = 57 —— （1）
xy = 540 ——（2）
由（1）y = 57 - x 带入（2）
x（57 - x）= 540
x² - 57x + 540 = 0
因式分解也是trial and error。
实质上 ...

原来如此，谢谢指教

刚刚我给的问题，是stpm 90 ，但已经被modified的问题， 做来做去还是做不到，原因是消除不掉那个 power log.

mathlim

原帖由 darksider 于 17-5-2008 10:30 AM 发表
solve the equations x-2y = 0 , (1- log of y to the base 2)log of x to the base 2 =1

你的题目不清楚。是不是：
x - 2y = 0 ——（1）
(1 - log2y)log2x = 1 ——（2）
由（1）x = 2y 带入（2）
(1 - log2y)log22y = 1
(1 - log2y)(log22 + log2y) = 1
(1 - log2y)(1 + log2y) = 1
1 - (log2y)² = 1
log2y = 0
y = 1
x = 2

darksider

原帖由 mathlim 于 2008/5/17 02:16 PM 发表


你的题目不清楚。是不是：
x - 2y = 0 ——（1）
(1 - log2y)log2x = 1 ——（2）
由（1）x = 2y 带入（2）
(1 - log2y)log22y = 1
(1 - log2y)(log22 + log2y) = 1
(1 - log2y)(1 + log2y) = 1
1 - (log ...

对不起，那个log2x in (1-log2y)log2x=1 应该是logx 2,谢谢！

试了几次，终于找到了

[ 本帖最后由 darksider 于 17-5-2008 09:00 PM 编辑 ]

darksider

Given that 3(4^p) = 7(6^q) amd 3(8^(p+1)) = 25 (6^q)
prove that 2^p = 25/56 and express 6^q as a ratio of two integers.
Find the value of p, correct to two significant figures.

帮帮忙！

乙劍真人

原帖由 darksider 于 18-5-2008 06:29 PM 发表
Given that 3(4^p) = 7(6^q) amd 3(8^(p+1)) = 25 (6^q)
prove that 2^p = 25/56 and express 6^q as a ratio of two integers.
Find the value of p, correct to two significant figures.

3（2^(2p)) = 7(6^q)  ---(1)
3(2^(3p+3)) = 25(6^q)  ---(2)

(2)/(1)：

2^(p+3) = 25 / 7
2^p(2^3) = 25 / 7
2^p = (25 / 7) x ( 1 / 8 )
2^p = 25 / 56 (proven)

p log 2 = log ( 25 / 56 )
p = -0.056


多多指教..

darksider

原帖由 乙劍真人 于 2008/5/18 07:10 PM 发表


3（2^(2p)) = 7(6^q)  ---(1)
3(2^(3p+3)) = 25(6^q)  ---(2)

(2)/(1)：

2^(p+3) = 25 / 7
2^p(2^3) = 25 / 7
2^p = (25 / 7) x ( 1 / 8 )
2^p = 25 / 56 (proven)

p log 2 = log ( 25 / 56 )
p = ...

谢谢你！还有这题

i)prove that if a^2 + b^2 = 14ab, then log (a+b / 4) = 1/2 (log a + log b)

ii)show that 1/ log p (pqr) + 1/ log q (pqr) + 1/log r (pqr) = 1

谢谢！

详圣

1) prove that if a^2 + b^2 = 14ab, then log (a+b / 4) = 1/2 (log a + log b)
a^2 +2ab + b^2 = 16ab
(a+b)^2 = 16ab
2 log (a+b) = log a + log b + 2log 4  ( log 16 = log 4^2 = 2log 4)
2 log(a+b) - 2log 4 = log a + log b
log ((a+b)/4) = 1/2 (log a + log b)

2) show that 1/ log p (pqr) + 1/ log q (pqr) + 1/log r (pqr) = 1
log p (pqr) = log pqr / log p
....
1/log p(pqr) = log p / log pqr
...

1/ log p (pqr) + 1/ log q (pqr) + 1/log r (pqr)
= log p / log pqr + log q / log pqr + log r / log pqr
= log pqr / log pqr
= 1

[ 本帖最后由 详圣 于 19-5-2008 12:20 AM 编辑 ]

darksider

原帖由 详圣 于 2008/5/19 12:19 AM 发表
1) prove that if a^2 + b^2 = 14ab, then log (a+b / 4) = 1/2 (log a + log b)
a^2 +2ab + b^2 = 16ab
(a+b)^2 = 16ab
2 log (a+b) = log a + log b + 2log 4  ( log 16 = log 4^2 = 2log 4)
2 log(a+b) - 2lo ...

谢谢

darksider

大家好，我又面对问题了，希望大家会帮忙

1)Find the complex number z such that z / (1+z ) = 1 + i

2)if (2+i)/(1-i) = x + yi, where x and y are real numbers, determine the value of x and y.

谢谢！

TCLGT

1)let z=x+yi
1+i=z/(z+1)
     =(x+yi)/(x+1+yi)
     =(x+yi)(x+1-yi)/(x+1+yi)(x+1-yi)
     =(x^2+x+y+yi)/((x+1)^2+y^2)
real part: 1=(x^2+x+y)/(x+1)^2+y^2)
x^2+2x+1+y^2=x^2+x+y
y^2-y+x+1=0---1
imaginary part= 1=y/(x+1)^2+y^2)
x^2+2x+1+y^2=y
y^2-y+x^2+2x+1=0---2

2-1, x^2+x=0
x=0, x=-1
x=0, y=no real answer, reject
x=-1, y=0,1

z=-1+i

2)(2+i)/(1-i) = x + yi
(2+i)(1+i)/(1-i)(1+i)=(1+3i)/2
x=1/2
y=3/2

darksider

原帖由 TCLGT 于 2008/5/21 08:40 PM 发表
1)let z=x+yi
1+i=z/(z+1)
     =(x+yi)/(x+1+yi)
     =(x+yi)(x+1-yi)/(x+1+yi)(x+1-yi)
     =(x^2+x+y+yi)/((x+1)^2+y^2)
real part: 1=(x^2+x+y)/(x+1)^2+y^2)
x^2+2x+1+y^2=x^2+x+y
y^2-y+x+1=0---1
i ...

谢谢 ^.^

darksider

Given that z1 = a / (1+i) and z2 = b/(1+2i),where a,b are the element of R , are two complex numbers such that z1+z2 = 1 , find the value of a and b.