马大数学系，每周一题。（2006/07, 第二学期）

pipi

第4个问题，关于“等差数列倒数之和不可能是整数”的这个猜想，我做了一些尝试，只解了一些特别的“公差”(common difference)，无法做出其一般性。
不过，通过internet，我查到这个论断是对的，Erdos 曾在1932年证过。
希望能获得那篇文章，来学习学习 Erdos 是如何证到的。。。
(不过，这文章的原文是匈牙利文。。。)

以下是我得到的资料：
http://www.zblmath.fiz-karlsruhe ... os/cit/00710305.htm

dunwan2tellu

原帖由 pipi 于 26-8-2006 02:37 PM 发表
第4个问题，关于“等差数列倒数之和不可能是整数”的这个猜想，我做了一些尝试，只解了一些特别的“公差”(common difference)，无法做出其一般性。
不过，通过internet，我查到这个论断是对的，Erdos 曾在1932年 ...

可以说说那些“特别的”common difference 的数列吗？

dunwan2tellu

原来　Ｑ５　可以那么简单。看来我绕了一个大圈。

我有些不明白　Ｑ６．是否每一个点都要　ｊｏｉｎ　ｔｏ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ｏｎｅ　ｌｉｎｅ　？　不让的话考虑一个情况：

Ｓｅｔ　Ｓ　里只有一条线，把他们分成两分　２００３　个点，和　１　个点。

那么这　２００４　个点都同色。然而那两个剩下的点呢？（ｊｏｉｎ　ｌｉｎｅ　的那两个点）我们涂什么颜色？同色？不同色？

pipi

原帖由 dunwan2tellu 于 29-8-2006 03:15 PM 发表
我有些不明白　Ｑ６．是否每一个点都要　ｊｏｉｎ　ｔｏ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ｏｎｅ　ｌｉｎｅ　？　不让的话考虑一个情况：

Ｓｅｔ　Ｓ　里只有一条线，。。。

问题中的

Let S be a set of lines that join any two points of these 2006
points.

表明了 S 拥有 （2006 choose 2）的直线。

pipi

原帖由 dunwan2tellu 于 29-8-2006 03:15 PM 发表
原来　Ｑ５　可以那么简单。看来我绕了一个大圈。

不同的思路，会有不同的回酬。。。

ministar84

原帖由 pipi 于 14-8-2006 03:13 PM 发表


感觉上，比以前好一些。
也许，“神秘礼物”吸引不到“忙碌”的大学生。。。
也许，他们觉得题目该容易一些吧！

许多学生会去看题目，看解答，。。。，这样就够了吧，他们想。

不过，我们也早已经知道 ...

真的很不好意思。。。我就是你所谓的“忙碌”的大学生。。。。
每次抄了问题，都是放在一旁。。。每天作完tutorial就已经是睡觉时间
所以。。。很不好意思。。。
不过每次看了答案就会学到了新的知识！！这是我感到开心的！！
真的很感激你的贡献！！要加油哦！！

dunwan2tellu

pipi , 你的 email 好像 sent 不进？

dunwan2tellu

Q7 的加强 version :

for 0<x,y<1 ==> x^y + y^x > 1 + xy

Proof :
Using Bernoulli ,
1/x^y = (1 + 1/x - 1)^y < 1 + y(1/x -1) = (x + y - xy)/y

=> x^y > y/(x + y - xy)
Similarly y^x > x/(x + y - xy)
Add up : x^y + y^x > (x+y)/(x + y - xy) = 1 + xy/(x+y-xy) > 1 + xy

(Last equality follows from (1-x)(1-y)>0 => 1 > x+y-xy)

sauberhan

dunwantellu ,你超强，你是唯一每一周都答对的人
为日新争光不少

真过分，让我们都好羡慕喔--'

dunwan2tellu

dunwantellu ,你超强，你是唯一每一周都答对的人
为日新争光不少

谢谢 sauberhan

真过分，让我们都好羡慕喔--'

题目的 pattern 和 olimpiad 题目很接近，所以会比较熟悉。如果是出大专的题目的话，可能我就比较逊色了。

呐，版主大人;
可以告诉我，您目前的学历嘛？

dunwan2tellu

原帖由 丫 于 23-9-2006 11:27 AM 发表
呐，版主大人;
可以告诉我，您目前的学历嘛？

即将应考 STPM 的中六生

dunwan2tellu

pipi

在Q9 的解答中，可否说说ｗａｉ　ｗａｉ　的证法？我有兴趣知道。

pipi

近来忙着一些文章，现在才回答你。。。抱歉。。。
Wai Wai 的 generalization，她只是“claimed that” ，并没有给于证明，
你可以试试！

原帖由 dunwan2tellu 于 18-9-2006 03:25 PM 发表
Q7 的加强 version :

for 0<x,y<1 ==> x^y + y^x > 1 + xy

...

这一题还可以再加强：

0<x,y<1 ==> x^y + y^x > 1 + xy/(x+y)

原帖由 pipi 于 26-8-2006 02:37 PM 发表
第4个问题，关于“等差数列倒数之和不可能是整数”的这个猜想，我做了一些尝试，只解了一些特别的“公差”(common difference)，无法做出其一般性。
不过，通过internet，我查到这个论断是对的，Erdos 曾在1932年 ...

我一位朋友也对此题目有兴趣，他做了一些 generalization，但是后来发现到早在 1990 年让其他数学同行完成了...

[ 本帖最后由 pipi 于 4-10-2006 08:57 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

近来忙着一些文章，现在才回答你。。。抱歉。。。
Wai Wai 的 generalization，她只是“claimed that” ，并没有给于证明，
你可以试试！

好吧。不过确定是 (bj-aj)/(aj+1 - ai) < 1 ?? 还是 (bj-aj)/(aj+1-aj)<1 ?

这一题还可以再加强：
0<x,y<1 ==> x^y + y^x > 1 + xy/(x+y)

如果没看错的话，我在上面已证明
x^y + y^x > 1 + xy/(x+y-xy)

不过 1 + xy/(x+y) > 1+xy 却不一定啊？

我一位朋友也对此题目有兴趣，他做了一些 generalization，但是后来发现到早在 1990 年让其他数学同行完成了...

我只能说数学界真是个斗快的世界。

pipi

原帖由 dunwan2tellu 于 4-10-2006 11:51 AM 发表
如果没看错的话，我在上面已证明
x^y + y^x > 1 + xy/(x+y-xy)

不过 1 + xy/(x+y) > 1+xy 却不一定啊？

啊。。。一时看漏眼。。。
它只是原题目的加强！

pipi

这一个学期的每周一题(Problem of the week)结束了。
谢谢支持！
咱们下个学期见！

pipi

马大数学系，每周一题。

这学期的每周一题又回来了， 同样的，有兴趣的网友，可到
http://omega.math.um.edu.my/Ismweb/Omega/problem.htm
游览。

注：请在问题提交截止后，才在网上公开讨论！

issacooi

为什么我开不到问题的呢？？？