公式选美

灰羊

log2=1-1/2+1/3-1/4...
設1+1/2+1/3+1/4......=k
1+1/2+1/3+1/4......
=(1-1/2+1/3-1/4...)+2(1/2+1/4+1/6....)
=(1-1/2+1/3-1/4...)+(1+1/2+1/3+1/4...)
=log2+k
..................
怎麼回事?

fadeev_popov

因为 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + ... 不收敛的关系。
所以 (1+1/2+1/3+1/4...) = (1-1/2+1/3-1/4...) + (1+1/2+1/3+1/4...) 可以被看成是：
infinity = log2 + infinity

另外一个更明显的例子：
设 1+1+1+1+1+... = k
而 k = (1+1+1+1+1) + 1+1+1+1+1+...
     = 5 + k
问题同样是 1+1+1+1+1+... 不收敛的关系。

[ Last edited by fadeev_popov on 24-12-2004 at 12:38 PM ]

灰羊

原來如此....
可是很怪,為甚麼會不收斂呢?
有甚麼方法判別級數的收歛的嗎?

fadeev_popov

单单针对这个被称为 hormonic series 的, 可以用以下的技巧证明:

let s = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + ... + 1/16)） + ...

留意一下刮号内的 sum 都是大过 0.5, 因为:

1/(p+1) + 1/(p+2) + ... + 1/(p+p) > 1/(2p) + 1/(2p) + ... + 1/(2p)
                                  > p/(2p) = 0.5

so, s = 1 + 0.5 + (something > 0.5) + (something > 0.5) + (something > 0.5) + ...
      = 1.5 + (something > 1) + (something > 1) + ...

很明显的, s 不收斂.

[ Last edited by fadeev_popov on 27-12-2004 at 01:21 PM ]

kenny56

最美的应该是heron'sformulae瓜，我学过最漂亮的公式。

mathlim

在复分析领域的欧拉公式为:

对于任意实数，存在:

当时，欧拉公式的特殊形式为 。(欧拉恒等式)

欧拉恒等式是指下列的关系式：
e^iπ + 1 = 0 其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。

这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introductio。
这是复分析的欧拉公式的特例：

对任何实数x，
e^ix = cosx + isinx

作代入x = π即给出恒等式。

理查德·费曼称这恒等式为“数学最奇妙的公式”，
因为它把5个最基本的数学常数简洁地连系起来。