高中数学训练题库

pipi

01/10/2004，星期五
高中(B20) 如图，PQ，QR，RP 个别是个别圆的直径；而 A,B,C 则各为阴影部分的面积。
          求证： A + B = C
          （已解）
          （答案：--）
          （解对者：fritlizt，eeCyang，sinchee，灰羊，38女）

解法（一）
QPR 是一个半圆。
所以角QPR = 90.
半圆PQ 的面积为 ： pai  * PQ^2 /8
半圆PR 的面积为 ： pai  * PR^2 /8
半圆RQ 的面积为 ： pai  * RQ^2 /8

有根据 phytagoras theorem, 半圆PQ 的面积 + 半圆PR 的面积 = 半圆RQ 的面积
再扣除白色的面积，
A+B = C


解法（二）
QPR 是一个半圆。
所以角QPR = 90.
半圆PQ 的面积为 ： pai * (PQ/2)^2/2
半圆PR 的面积为 ： pai * (PR/2)^2/2
半圆RQ 的面积为 ： pai * (RQ/2)^2/2

结果得:[pai * (PQ/2)^2/2 + pai * (PR/2)^2/2 + pai * (RQ/2)^2/2]
    -[pai * (PQ/2)^2/2 + pai * (PR/2)^2/2 + PQ*PR/2]
得 pai * (RQ/2)^2/2 -PQ*PR/2 这是白色的面积...

过后我才用左式证:

A+B= pai* (PQ/2)^2/2 + pai* (PR/2)^2/2 -[pai* (RQ/2)^2/2 -PQ*PR/2]

C= PQ*PR/2

那如果要令到A+B=C.. 那pai* (PQ/2)^2/2 + pai* (PR/2)^2/2= pai* (RQ/2)^2/2
这和phytagoras theorem很像...


解法（三）
設 PQ = a, PR = b, QR = c,
即 a,b,c 分別為三個半圓的直徑。
故 a^2 + b^2 = c^2

因為三個皆為半圓﹐即相似形。
而﹐  相似形的面積比 = (邊比)^2
      半圆 PQ 的面积 = (a^2/c^2) 半圆 QR 的面积
      半圆 PR 的面积 = (b^2/c^2) 半圆 QR 的面积
因此﹐半圆 PQ 的面积 + 半圆 PR 的面积 = 半圆 QR 的面积
半圆 PQ 的面积 + 半圆 PR 的面积 - 空白部份 = 半圆 QR 的面积 - 空白部份
即 A + B = C。


解法（四）


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pipi

02/10/2004，星期六
高中(B21) x 是任意实数，求证： cos(cos x) ≥ sin x 。 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：sMIL3）

解法（一）
for cos(cosX):
when (cosX)=1(maximum),cos(cosX) is minimum
:.when X=0,cos(cosX) is minimum
:.cos(cos0)≦cos(cosX)≦1
:.cos1≦cos(cosX)≦1

如图：


解法（二）
若0≦x≦兀,則利用泰勒級數展開法
設cosx=t ＝＞sinx= √(1-t^2),則原不等式變成cost≧√(1-t^2)
設cost的泰勒級數=f(t),√(1-t^2)的泰勒級數=g(t)
並令F(t)=f(t)-g(t)＝＞F’(t)=f’(t)-g’(t)
您將發現F’(t)≧0恆成立,此乃表示F(x)是遞增函數
∵-1≦t≦1,且F(-1)=0
∴cost≧√(1-t^2)
故cos(cosx)≧sinx
得證

解法（三）
用Maclaurin Series,
cos(t) = 1 - 1/2(cos t)^2 + 1/24 (cos t)^4 - ... for ∞<t<∞.

所以
cos(cosx)≥ 1 - 1/2(cos x)^2    (因为|cos x|≤1)
         =  1/2 (2 - (cos x)^2)
         =  1/2 (1 + (sin x)^2)
         ≧ sin x

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07/10/2004，星期四
高中(B22)
          （已解）
          （答案：--）
          （解对者：sinchee）

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08/10/2004，星期五
高中(B23) 有两堆棋子，数目相等．两人玩耍，每人可以在一堆里任意取几颗，但不能同时在两堆里取，规定取得最后一颗者胜。
          求证后取者可以必胜。 （已解）
          （答案：--）
          （解对者：灰羊）

A先拿,無論A拿哪一堆的多少個,B在另一堆也拿相同數量(2堆數量相等)
持續下去,因為A先拿,所以A一定先拿完其中一堆,B勝

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09/10/2004，星期六
高中(B24) 不许用计算机，试比较 e^π   与 π^e，哪个比较大？ （已解）
         （答案：e^π）
         （解对者：sMIL3）

首先，证明 ln(x/lnX)≥1 for all  x > 1:
y=ln(x/lnX)  , x>1
dy/dx=(lnX-1)/(xlnX)    , x>1
(e,1) is the minimum point lies on y

:.由此可知:
ln(π/lnπ)>1 (因为π>e)
lnπ-ln(lnπ)>1
lnπ>1+ln(lnπ)
lnπ>ln(elnπ)
π>elnπ
πlne>elnπ
ln(e^π)>ln(π^e)
:.e^π>π^e

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14/10/2004，星期四
高中(B25) 如图，在圆 O 任意画二 互相垂直的(chord)：AB 及 CD。
          若 AB 与 CD 交点为 P 。
          求证： AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 恒为某定值。
          （已解）
          （答案：--）
          （解对者：430201，灰羊）

解法（一）
设AP＞PB，PD＞PC，且圆O的半径为r
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，又AB⊥CD，
则OE＝PF，OF＝PE，
且AE＝BE，DF＝CF
故AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2
＝(AE＋EP)^2 + (BE－EP)^2 + (CF－PF)^2 + (DF＋PF)^2
＝AE^2 + EP^2 + BE^2 + EP^2 ＋CF^2 + PF^2 + DF^2 + PF^2
＝2(AE^2＋OE^2)＋2(DF^2＋OF^2)
＝2OA^2＋2OD^2＝4r^2

解法（二）


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15/10/2004，星期五
高中(B26) 若 　　a^3 + b^3 = 2.
          求证 　a + b ≤ 2. （已解）
          （答案：--）
          （解对者：430201）

設a＋b＝k，其中k≠0（若k＝0，則a^3 + b^3＝0，與已知矛盾）
則a＝k－b，代入a^3 + b^3 = 2.
化簡得3k(b^2)－3(k^2)b＋(k^3－2)＝0
∵k為實數
∴判別式＝﹝－3(k^2)﹞^2－4×(b^2)×(k^3－2)≧0
化簡得k(k－2)(k^2＋2k＋4)≦0
∵k^2＋2k＋4＝(k＋1)^2＋3＞0
∴k(k－2) ≦0，又k≠0
則0＜k≤ 2.
故本題得證

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16/10/2004，星期六
高中(B27) 已知 α 、β 为锐角，
         且 3(sin α)^2 + 2(sin β)^2 = 1；
            3(sin 2α) - 2(sin 2β) = 0，
         求证： α + 2β = π/2 。 （已解）
         （答案：）
         （解对者：）

[ Last edited by pipi on 19-10-2004 at 10:28 AM ]

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21/10/2004，星期四
高中(B28) 我们设
          指令（1）为：由左到右，报数! 喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，
          指令（2）为：由右到左，报数! 喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，

          100 个学生排成一列。
          指令（1）
          指令（2）
          指令（1）
          指令（2）
          ...
          如此指令重复，直到最后一个学生！
          问：这最后一个学生第一次喊什么号码？ （已解）
          （答案：54）
          （解对者：430201）

解法
第一次剩下2的倍數：2、4、6、8、…、100（50個）
第二次剩下型如2＋4n的數：2、6、10、14、…、98（25個）
第三次剩下型如6＋8n的數：6、14、22、30、…、94（12個）
第四次剩下型如6＋16n的數：6、22、38、54、70、86（6個）
第五次剩下：22、54、86
第六次剩下：54

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22/10/2004，星期五
高中(B29) 若 0< a,b < 1 ?
          试求
√{a^2 + b^2} + √{(1-a)^2 + b^2} + √{(1-a)^2 + (1-b)^2} + √{a^2 + (1-b)^2}
          的极小值。 （已解）
          （答案：2√2）
          （解对者：多普勒效应）

解法
利用构造法:

所以,极小值是 2√2

[ Last edited by pipi on 25-10-2004 at 04:07 PM ]

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23/10/2004，星期六
高中(B30) 在三角形 ABC，角 C 为直角。
          试求 (a+b)/c 的极大值及极小值。 （已解）
         （答案：极大值=√2，没有 极小值...）
         （解对者：多普勒效应）

没有极小值。

[ Last edited by pipi on 25-10-2004 at 04:19 PM ]

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28/10/2004，星期四
高中(B31) 已知 a, b 为正整数，且 (a,b) 满足  10 < a^2 + b^2 < 28 。
          问共有几组不同的 (a,b) ？ （已解）
          （答案：11）
          （解对者：430201）

（1）若a＝1
則9 ＜ b^2 ＜ 27
即3 ＜ b ＜ 6
∴b＝4，5
（2）若a＝2
則6 ＜ b^2 ＜ 24
即2 ＜ b ＜ 5
∴b＝3，4
（3）若a＝3
則1 ＜ b^2 ＜ 17
即1 ＜ b ＜ 5
∴b＝2，3，4
（4）若a＝4
則0 ＜ b^2 ＜ 12
即0 ＜ b ＜ 4
∴b＝1，2，3
（5）若a＝5
則0 ＜ b^2 ＜ 3
即0 ＜ b ＜ 2
∴b＝1
故共有11組

[ Last edited by 多普勒效应 on 31-10-2004 at 09:34 PM ]

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29/10/2004，星期五
高中(B32) (B32) 若 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)…(x-10)，
          求 f '(10)。 （已解）
          （答案：9!）
          （解对者：ah_mok）

解法
设g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)…(x-9)
    h(x) = (x-10)

f(x)  = g(x)h(x)
  f '(x) = g'(x)h(X)+g(x)h'(x)
         = g'(x)(x-10) + g(x)(1)
  f'(10) =g'(10)(10-10) + g(10)
         = g(10)
         =(10-1)(10-2)(10-3)(10-4)…(10-9)         
         =9(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)
         =9!

[ Last edited by pipi on 30-10-2004 at 07:58 PM ]

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30/10/2004，星期六
高中(B33) 已知 x, y 为正整数，且 (x,y) 满足  1/x  +  1/y  = 1/30 。
         求 y 的极大值。 （已解）
         （答案：930）
         （解对者：430201）

解法
∵1/x  +  1/y  = 1/30 。
去分母  30y＋30x＝xy
        xy－30x－30y＝0
        x(y－30)－30(y－30)＝900
        (x－30)(y－30)＝900
當x－30＝1時，y－30有極大值900
故y的極大值為930

[ Last edited by pipi on 30-10-2004 at 07:59 PM ]

多普勒效应

04/11/2004，星期四
高中(B34)
证明
是有理数。        （已解）
（答案：--）
（解对者：萧晨 , 430201）

解法（一）
分母抽5--->2222...244444...45
(n-1个2，n-1个4，一个5)
再抽5--->444....4888...89
(n-1个4，n-2个8，一个9)
--->444...48888...8+1
(n-1个4，n-1个8)
在用数学归纳法证明这个式子是平方数
所以整个分母就是平方数
可以开更号然后倒数

解法（二）
設1111…1（共n－1個1）＝A
則1111…1222…25
＝A×10^(n＋1)＋2×A×10^2＋25
＝A×10^2×〔10^(n－1)＋2〕＋25
＝A×10^2×(9A＋3)＋25
＝9×A^2×10^2＋A×10^2×3＋25
＝(3A×10)^2＋2×(3A×10)×5＋5^2
＝(30A＋5)^2
＝(333…35)^2（共n－1個3）
故本題得証

[ Last edited by 多普勒效应 on 5-11-2004 at 08:36 PM ]

多普勒效应

05/11/2004，星期五
高中(B35)
解方程

（已解）
（答案：1/2 (– 1 + √21) 或 1/2 (1 - √17)）
（解对者：萧晨，sinchee）

解法（一）
用 linear interpolation
Answer=1.791284544 , -1.561548897

解法（二）
两边平方，得：
x^4 – 10x^2 + x + 20 = 0
(x^2 + x – 5)(x^2 – x – 4) = 0
x = 1/2 (– 1 ± √21) or 1/2 (1 ± √17)
经检验，
x = 1/2 (– 1 + √21) or 1/2 (1 - √17)

解法（三）
设 a=5，两边平方得 x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0
a^2 - (2x^2 +1)a  + x^4 + x = 0
判别式 = (2x-1)^2
用公式法得 a1 = x^2 + x      , a2 = x^2 - x +1
接下来的就和解法（二）一样。

[ Last edited by 多普勒效应 on 5-11-2004 at 08:43 PM ]

多普勒效应

06/11/2004，星期六
高中(B36)
x,y,z 都是正整数，且
        x + [y] + {z} = 13.2
        [x]+{y}+  z  = 14.3
        {x}+y+[z] = 15.1
求 x,y,z 之值。
（已解）
（答案：）
（解对者：430201）

解法（一）
∵x + [y] + {z} = 13.2
  [x]+{y}+  z  = 14.3
  {x}+y+[z] = 15.1
∴（一）[x]＋{x}＋[y]＋{z}＝13.2
       則[x]＋[y]＝13，{x}＋{z}＝0.2
       或[x]＋[y]＝12，{x}＋{z}＝1.2
  （二）[x]＋{y}＋[z]＋{z}＝14.3
       則[x]＋[z]＝14，{y}＋{z}＝0.3
       或[x]＋[z]＝13，{y}＋{z}＝1.3
   （三）{x}＋[y]＋{y}＋[z]＝15.1
       則[y]＋[z]＝15，{x}＋{y}＝0.1
       或[y]＋[z]＝14，{x}＋{y}＝1.1
可能有8組解
（1）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝0.1
     解之得，x＝6、y＝7.1、z＝8.2
（2）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝1.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝20.5（不合）
（3）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝0.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝20.5（不合）
（4）[x]＋[y]＝13，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝0.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝1.1
     解之得，{y}＝1.1（不合）
（5）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝0.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝20.5（不合）
（6）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝14，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝0.3，{x}＋{y}＝1.1
     解之得，{x}＝1（不合）
（7）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝15
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝0.1
     解之得，{z}＝1.2（不合）
（8）[x]＋[y]＝12，[x]＋[z]＝13，[y]＋[z]＝14
     且{x}＋{z}＝1.2，{y}＋{z}＝1.3，{x}＋{y}＝1.1
     得，[x]＋[y]＋[z]＝19.5（不合）

解法（二）
把三个等式相加 ：
2(x+y+z)=42.6   => x+y+z = 21.3 ----(4)
(4) - (1) =>  y-[y]+z-{z}= [z] + {y} = 8.1        => [z]=8 , {y}=0.1
同理 ，(4) - (2) =>   [y]+{x} = 7    => [y]=7 ,{x}=0
             (4) - (3) =>   [x] + {z} =6.2  => [x]=6 . {z}=0.2

[ Last edited by 多普勒效应 on 19-11-2004 at 12:26 AM ]

多普勒效应

11/11/2004,星期四
高中 (B37)
f 和 g 是两个多项式（polynomial），且
f(x + g(y))=3x + y + 4
给所有实数x,y
求 g( 8 + f (3)) 之值。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

多普勒效应

12/11/2004,星期五
高中 (B38)
a,b 是 x^2 - (k-1)x + (k^2 + 3k +4)=0
的两根，k 是某些实数。
求 a^2 + b^2 的最大值。
（已解）
（答案：8）
（解对者：灰羊，430201）

解法（一）
（1）若兩根a、b為任意數
a^2 + b^2 =(a+b)^2 - 2ab
          =(k-1)^2 - 2(k^2 + 3k +4)
          =-(k+4)^2 + 9 ≦9
故 a^2 + b^2 的最大值是9
（2）若兩根a、b為任意實數
∵兩根a、b為任意實數
∴判別式=(k - 1)^2 - 4(k^2 + 3k + 4)≧0
解得 -3≦k≦-5/3
又a^2 + b^2 =(a+b)^2 - 2ab
          =(k-1)^2 - 2(k^2 + 3k +4)
          =-(k+4)^2 + 9
則81/9≦(a^2 + b^2)≦8
故 a^2 + b^2 的最大值是8

[ Last edited by 多普勒效应 on 19-11-2004 at 12:29 AM ]

多普勒效应

13/11/2004,星期六
高中 (B39)

（已解）
（答案：15200/5151）
（解对者：灰羊）

解法（一）


解法（二）
simplified (5r+2)/r(r+1)(r+2)
===>5r/r(r+1)(r+2) + 2/r(r+1)(r+2)
= 5/(r+1)(r+2) + 2/r(r+1)(r+2)----〉做法在下面
= 5[1/(r+1) - 1/(r+2)] + 2[1/r - 1/(r+1)] - [1/r - 1/(r+2)]
然后summation
=5{1/2-1/102} + 2{1/1-1/101} - {1/1+1/2-1/101-1/102}
=125/51 + 200/101 - 7625/5151
=15200/5151

另外simplify 1/r(r+1)(r+2)
===>[1/r] [1/(r+1)(r+2)]
===>[1/r] [1/(r+1) - 1/(r+2)]
===>[1/r(r+1)] - [1/r(r+2)]
===>[1/r - 1/(r+1)] - [1/r - 1/(r+2)]/2

[ Last edited by 多普勒效应 on 19-11-2004 at 12:32 AM ]