Further Mathematics T Paper 1 讨论专区

~HeBe~_@

是的。。。。。。。。。。。。

~HeBe~_@

原帖由 Dicardo 于 6-8-2009 06:41 PM 发表
∫ ln x dx 該怎麽solve?
:@

我算到要吐血了....

From:  
http://cforum6.cari.com.my/viewthread.php?tid=1513746&page=15#pid63957509

你可以用Integration by part.

我额外补充一下。当你们用integration by part时，
你们得知道一些 rule,就是选出 first function当成你们的fixed function.
例如：

∫   f(x). g(x)  dx  = f(x) ∫ g(x) dx - ∫  [ ∫ g(x) dx ] . f '(x)  dx

In words, this formula states that

   The integral of the product of two functions

= first function x integral of second - integral of  ( integral of second  x diff. coefficient of first )

所以你们先在两个functions中锁定其中一个function为你的first function(我习惯用Fixed这个字眼).

其实，这里有个我个人的口诀。

By using integration by part,

Fixed . Integrate  -  ∫ Integrate . differentiate Fixed   dx



接下来，我教教你们如何 辨认 哪个 functions 为 你们的 first function.

这里就是要obey the rules 来找出 first function。

The first function is chosen as the function which comes first in the word ILATE, where

I    -    stands for Inverse function              (Exp:  f(x) = sin^(-1) x; cos^(-1) )
L  -    stands for Logarithmic function       (Exp:  f(x) = log x;    ln x )
A  -    stands for Algebraic function          (Exp:  f(x) =  2x+3 )
T  -    stands for  Trigonometric function (Exp:  f(x) =  sin x; cos x )
E  -    stands for Exponential function      (Exp:  f(x) =  e^(x) )

通常STPM的level, 只有以下的rules:

lnx
x
e^x

你们根据以上的rules就可以找出fixed 就是 (first function)。

回你的问题：

∫ ln x dx

这个问题有两个functions就是

     ∫ ln x dx
=   ∫ 1  .  ln x dx

设 f(x) = ln x 和 g(x) = 1

你现在可以很清楚地 辨认 哪一个是 fixed 吗？
就是用刚才我所说的rules来找出fixed.

其实 ln x 是 属于 Logarithmic function，
而 1  是 属于 Algebraic function

根据rules:

lnx
x
e^x

你看到lnx 排在 x 的上面，所以 lnx 就是 设为 Fixed.

然后根据这个

∫   f(x). g(x)  dx  = f(x) ∫ g(x) dx - ∫  [ ∫ g(x) dx ] . f '(x)  dx

或

∫   f(x). g(x)  dx = Fixed . Integrate  -  ∫ Integrate . differentiate Fixed   dx

Solution：
设
f(x) = ln x 为 Fixed
和
g(x) = 1    为 second

     ∫ ln x dx
=   ∫ 1  .  ln x dx
=   ln x . x -  ∫   x . 1/ x  dx         {因为 Fixed . Integrate  -  ∫ Integrate . differentiate Fixed dx }
=   x.lnx    -  ∫  1       dx   
=   x.lnx    -   x  +   c
=   x ln (x/e)      +   c


[ 本帖最后由 ~HeBe~_@ 于 17-10-2009 06:12 PM 编辑 ]

harry_lim

其实integration by parts比较容易做。。。integration by substitution比较难点吧？

~HeBe~_@

我觉得两者都不会很难。若你会应用的话。

harry_lim

原帖由 ~HeBe~_@ 于 6-8-2009 11:35 PM 发表
我觉得两者都不会很难。若你会应用的话。

我只是比较不会integration by substitution罢了

~HeBe~_@

哈哈~你可以 参考我的方法。
希望能帮上你一点忙。^^

http://cforum6.cari.com.my/viewt ... ;page=2#pid57319896

虽然不是你的level, 不过我觉得基础要打好。

harry_lim

卡帖了？？？？

harry_lim

其实我是有form 5学过的东西了。。。。但是中六的integration要算trigonometric functions的
然后还有prove这个。。。prove那个的

Dicardo

有03-08 年 fm 的答案嗎？

雖然我沒拿fm,可是我想試試看。。

~HeBe~_@

我家里没有scanner......我蛮穷的。。。

~HeBe~_@

原帖由 ~HeBe~_@ 于 28-6-2009 02:34 AM 发表
Remainder Theorem
2.
If a polynomial f(x) is divided by (x - a)^2,
the remainder is f'(a)(x -a) + f(a).
i.e. f(x) = q(x)(x - a)^2 + f'(a)(x - a) + f(a)

If f'(a) = f(a) = 0, then (x - a) is a repeated factor of f(x).

Proof : Suppose (x - a)^2 is a factor of f(x), then
           f(x) = Q(x)(x-a)^2
=>      f(x) = Q'(x).(x-a)^2 + 2(x-a).Q(x)        
=>      (x - a) is a factor of f'(x).    (proved)

现在我们看看以下的converse is false.
Let f(x) = (1/2) (x -7)(x+3)
             = (x^2)/2 - 2x - 21/2
Then f'(x) = x - 2

我们清楚地知道 (x- 2)^2 is not a factor of f(x).

Example
i) 3x^3 + 29x^2 + 65x - 25 = 0 given that two of its roots are repeated.


Solution:
i)
Let f(x) = 3x^3 + 29x^2 + 65x - 25

Suppose f'(x) = 0

Then 9x^2 + 58x + 65 = 0
By quadratic formula, x = [-58 ± √ [58^2 -4(9)(65)]]/[2(9)]
                                  x = -5 or -13/9

f(-5) = 0  but  f(-13/9) ≠ 0

Since f'(-5) = f(-5) = 0, then (x+5) is a repeated factor of f(x).
Hence, -5 is the repeated root of f(x).

By long division f(x) = (x+5)^2  .  (3x - 1)
Therefore, the solution to f(x) = 0 are x = -5, -5, 1/3.

bell_25

原帖由 ~HeBe~_@ 于 28-6-2009 02:34 AM 发表
心血来潮。。。
今天我来介绍Remainder Theorem。
很多的Math S or T 生只学到一个Remainder Theorem..
^^
我教多你们一个Theorem.
你们学过第一个，但是没学过 第二个。

Remainder Theorem
1.
If a polyn ...

谢谢分享哦。。
可是我想问一问。。
第二个是不是只有在further math T 里才能用呢？
因为我的老师（Maths T paper 1）都有叫我们这两个method叻。。
我还以为这两个都是Math T syllabus 里的方法。。

~HeBe~_@

Remainder Theorem
1.
If a polynomial f(x) is divided by x -a, the remainder is f(a).
i.e. f(x) = (x - a)q(x) + f(a)

As a consequence of this theorem,
it follows that if f(a) = 0, then (x - a) is a factor of f(x).

2.
If a polynomial f(x) is divided by (x - a)^2,
the remainder is f'(a)(x -a) + f(a).
i.e. f(x) = q(x)(x - a)^2 + f'(a)(x - a) + f(a)

If f'(a) = f(a) = 0, then (x - a) is a repeated factor of f(x).

原帖由 bell_25 于 16-10-2009 11:13 PM 发表
谢谢分享哦。。
可是我想问一问。。
第二个是不是只有在further math T 里才能用呢？
因为我的老师（Maths T paper 1）都有叫我们这两个method叻。。
我还以为这两个都是Math T syllabus 里的方法。。:shake ...

你校的老师教你们两个theorem是件好事来的。
Maths T 的 syllabus只教 Theorem 1, Further Maths T的syllabus多一个Theorem 2.

好处就在这里。
就拿我的例子来看：

Example
i) 3x^3 + 29x^2 + 65x - 25 = 0 given that two of its roots are repeated.

你先用Theorem 1来做，

Remainder Theorem
1.
If a polynomial f(x) is divided by x -a, the remainder is f(a).
i.e. f(x) = (x - a)q(x) + f(a)

As a consequence of this theorem,
it follows that if f(a) = 0, then (x - a) is a factor of f(x).

Solution:
i)
Let f(x) = 3x^3 + 29x^2 + 65x - 25

Constant term for f(x) is -25. Hence, if (x-a) were to be a factor of f(x), then a must be a factor of -25,
i.e. a =  ±1 ,±5, ±25.
[这个a =  ±1 ,±5, ±25， 以内一定其中一个是factor of f(x)]

If x = 1,   f(1)  ≠ 0
If x = -1, f(-1)  ≠ 0
If x = 5 ,  f(5)  ≠ 0
If x = -5, f(-5) = 0
If x = 25, f(25)  ≠ 0
If x= -25, f(-25)  ≠ 0

The (x+5) is a factor of f(x).
By using long division, f(x) = (x + 5) (3x^2 + 14x -5)
                                             = (x + 5)(x + 5)(3x -1)

现在我用Theorem Remainder 1 and Theorem Remainder 2的做法。

Solution:

Let f(x) = 3x^3 + 29x^2 + 65x - 25
Suppose f'(x) = 0
Then 9x^2 + 58x + 65 = 0
By quadratic formula, x = [-58 ± √ [58^2 -4(9)(65)]]/[2(9)]
                                  x = -5 or -13/9

Constant term for f(x) is -25. Hence, if (x-a) were to be a factor of f(x), then a must be a factor of -25,
i.e. a =  ±1 ,±5, ±25.

从这里看到， (x+5)出现在Theorem 1,也出现在Theorem 2,
那么(X+5) 是一个 repeated roots of f(x) i.e. (x+5)^2.

f(-5) = 0  but  f(-13/9) ≠ 0

Since f'(-5) = f(-5) = 0, then (x+5) is a repeated factor of f(x).
Hence, -5 is the repeated root of f(x).

By long division f(x) = (x+5)^2  .  (3x - 1)
Therefore, the solution to f(x) = 0 are x = -5, -5, 1/3.

注意：
如果  其中一个   factor of constant term of f(x)   没有第二次出现在  solution of f'(x) =0,
那么，f(x) has no repeated root.

bell_25

嗯。。明白了。。
你解释到好清楚。。好用心。。
谢谢。。

~HeBe~_@

考生面对的一个问题就是不知道什么时候该用哪一个formula来做积分。

其实很容易又简单，只要你依照以下的步骤就可以了：

当你无法使用step 1的其中一种fomula,
你就尝试使用step 2的fomula,
若step 2无法使用，就以此类推，直到step 4为止。

Step 1:
i)   Integrate    ax^n    dx       =    [ax^(n+1)]/(n+1) + c
ii)  Integrate  f'(x) [f(x)]^n  dx =   { [f(x)]^(n+1) } / (n+1)   + c
iii) Integrate  f'(x)/ f(x)   dx     =   ln | f(x) |  + c
iv) Integrate  f'(x) e^f(x)  dx   =    e^f(x)   +  c

Step 2:
Integration by Partial Fraction

Step 3:
Integration by Parts

Step 4:
Integration by Substitution

注意：
当然，有些题目是可同时用两个method找出答案，
如：Integration by Parts 和 Integration by Substitution都可同时用.
但是若可以的话尽量用Integration by Parts，
而 Integration by Substitution是最后的选择，
因为避免当你用 Integration by Substitution时，
你会substitute错variable或浪费时间。

andyl

Hebe小姐，我要练习~所有关于f.math。。。我今年如果读中6的话，非常想拿f. math。。。

數學神童

further math 不是你想拿就可以拿的。你还要看你的学校给不给你拿。还有就是你的math必须要有很强的foundation.你不如先读下math T 的东西吧。如过你可以catch up，那你就可以考虑further math.one more thing is u have to fork out a lot of money to buy books.furthermore, these books are seldom in bookshops.

andyl

据我所知，我的学校肯。
这几个月我有看看math t,发现我是可以接受的，所一才会有想拿f. math的念头。

andyl

在这之前，我也知道要买什么书了，有朋友告诉我，大致上来说要买5本书，而且都不便宜。。。

andyl

至于我的数学底，我也不知道够不够强，每次学校分数都是90+，试考也是。。。现在就看spm的成绩了。