■ 不等式证明题 ■

DADDY_MUMMY

2x + y=1
1/x + 1/y 有最小值当  x = y
2x + y = 2y + y = 3y = 1   y = 1 - 2x
y = 1/3 = x
1/x + 1/y = 3 + 3 = 6
不对吗？？？

mathlim

原帖由 DADDY_MUMMY 于 18-10-2008 03:36 AM 发表
2x + y=1
1/x + 1/y 有最小值当  x = y
2x + y = 2y + y = 3y = 1   y = 1 - 2x
y = 1/3 = x
1/x + 1/y = 3 + 3 = 6
不对吗？？？

不对！

DADDY_MUMMY

2x + y=1
1/x + 1/y 有最小值当  2x = y
2x + y = y + y = 2y = 1   y = 1 - 2x
y = 1/2
x = 1/4
1/x + 1/y = 4 + 2 = 6
那这样呢？？？

mathlim

错！

DADDY_MUMMY

已知 x > 0, y > 0 且 2x + y = 1,
   求 1/x + 1/y 的最小值。
如要1/x + 1/y最小，x和y要最大值
因为x > 0, y > 0，可是2x+y=1
所以x和y都小过1，他们的最大值是
x=0   ,y=1;           >infinity+1 = infinity
x=0.1,y=0.8                              >   10+1.25=11.25
x=0.2,y=0.6                              >   5  +5/3  =6.667
x=0.3,y=0.4                              >10/3+2.5  =5.8333
x=0.349,y=0.302                      >6.177
x=0.3495,y=0.301                    >6.183
x=0.35,y=0.3                            >6.190
x=0.3625,y=0.275                    >6.395
x=0.375,y=0.25                        >6.667
x=0.4,y=0.2                              > 2.5 +  5   =7.5
x=0.5,y=0.                               >2+infinity = infinity

x=0.3,y=0.4,
可以了吧！！！

mathlim

这一道题，
Trial and Error是行不通的！

x = 0.3, y = 0.4
1/x + 1/y ≈ 5.8333

x = 0.29, y = 0.42
1/x + 1/y ≈ 5.8292

我还可以找到更小的值哦！
如果x是无理数，
那么你怎么个Trial and Error？

mathlim

若 x + y = 1,
那么 1/x + 1/y 的极值发生在 x = y。

若 2x + y = 1,
那么 1/2x + 1/y 的极值发生在 2x = y。

这两个极值发生在不同的情况下。
所以不可以用 2x = y 来求 1/x + 1/y 的极值。
同样的，
在 2x + y = 1 的条件下，
你也不可以用 x = y 来求 1/x + 1/y 的极值。

注：把 2x 看成 u。

mathlim

原帖由 mathlim 于 17-10-2008 03:54 PM 发表
1．已知 x > 0, y > 0 且 2x + y = 1,
      求 1/x + 1/y 的最小值。

设 S = 1/x + 1/y
S = 1/x + 1/(1-2x)
2Sx^2 - Sx = x - 1
2Sx^2 - (S + 1)x + 1 = 0
△ ≥ 0
[- (S + 1)]^2 - 4×2S×1 ≥ 0
S^2 - 6S + 1 ≥ 0
(S - 3)^2 - 8 ≥ 0
(S - 3 - 2√2)(S - 3 + 2√2) ≥ 0
S ≤ 3 - 2√2 或 S ≥ 3 + 2√2
由题意x > 0，y > 0 且 2x + y = 1，
知 y < 1，则 S > 1。
故 S ≤ 3 - 2√2 不合，
∴ S 的最小值为 3 + 2√2。

mathlim

原帖由 mathlim 于 17-10-2008 03:54 PM 发表
1．已知 x > 0, y > 0 且 2x + y = 1,
      求 1/x + 1/y 的最小值。

设 S = 1/x + 1/y

S = (2x + y)/x + (2x + y)/y
= 2 + y/x + 2x/y + 1
= 3 + y/x + 2x/y
≥ 3 + 2[(y/x)(2x/y)]^1/2
= 3 + 2√2

∴ S 的最小值为 3 + 2√2。

mathlim

第二期
(三)
a,b,c 是正实数，证明:

这一道题，有没有人可以解给我看？

mathlim

第二期
(三)
a,b,c 是正实数，证明:

没有人帮我，我只好自己来，虽然证明的很难看。

1/a(1+b) + 1/b(1+c) + 1/c(1+a) - 3/(1+abc)

= [ bc(1+c)(1+a)(1+abc) + ca(1+a)(1+b)(1+abc) + ab(1+b)(1+c)(1+abc) - 3abc(1+a)(1+b)(1+c) ] / abc(1+a)(1+b)(1+c)(1+abc)

∵ bc(1+c)(1+a)(1+abc) + ca(1+a)(1+b)(1+abc) + ab(1+b)(1+c)(1+abc) - 3abc(1+a)(1+b)(1+c)

= a^3b^2c^2 + b^3c^2a^2 + c^3a^2b^2 + a^3bc^2 + b^3ca^2 + c^3ab^2 + ab^2 + bc^2 + ca^2 + ab + bc + ca - 2a^2b^2c - 2b^2c^2a - 2c^2a^2b - 2a^2bc - 2b^2ca - 2c^2ab

= ( a^3b^2c^2 - 2a^2b^2c + ab^2 ) + ( b^3c^2a^2 - 2b^2c^2a + bc^2 ) + ( c^3a^2b^2 - 2c^2a^2b + ca^2 ) + ( a^3bc^2 - 2a^2bc + ab ) + ( b^3ca^2 - 2b^2ca + bc ) + ( c^3ab^2 - 2c^2ab + ca )

= ab^2(ca-1)^2 + bc^2(ab-1)^2 + ca^2(bc-1)^2 + ab(ca-1)^2 + bc(ab-1)^2 + ca(bc-1)^2 ≥ 0

∴ 1/a(1+b) + 1/b(1+c) + 1/c(1+a) ≥ 3/(1+abc)

mathlim

今天，又遇到一道题。

已知a,b,c为一三角形的三边长，试证明：

a^2(b+c-a) + b^2(c+a-b) + c^2(a+b-c) ≤ 3abc

我觉得条件只需 a,b,c ≥ 0 就可以了。

hamilan911是不等式高手，出手相救吧！

mathlim

我自己证出来了。

a&sup2; + b&sup2; ≥ 2ab
a + b - c > 0

( a&sup2; + b&sup2; )( a + b - c ) ≥ 2ab( a + b - c )
a&sup3; + b&sup3; + 2abc ≥ a&sup2;b + b&sup2;a + a&sup2;c + b&sup2;c

同理
b&sup3; + c&sup3; + 2abc ≥ b&sup2;c + c&sup2;b + b&sup2;a + c&sup2;a
c&sup3; + a&sup3; + 2abc ≥ c&sup2;a + a&sup2;c + c&sup2;b + a&sup2;b

三式相加
a&sup3; + b&sup3; + c&sup3; + 3abc ≥ a&sup2;b + b&sup2;a + b&sup2;c + c&sup2;b + c&sup2;a + a&sup2;c
3abc ≥ ( a&sup2;b + a&sup2;c - a&sup3; ) + ( b&sup2;c + b&sup2;a - b&sup3; ) + ( c&sup2;a + c&sup2;b - c&sup3; )
3abc ≥ a&sup2;(b + c - a) + b&sup2;(c + a - b) + c&sup2;(a + b - c)

∴ a&sup2;(b + c - a) + b&sup2;(c + a - b) + c&sup2;(a + b - c) ≤ 3abc

朗木寺

1．已知 x > 0, y > 0 且 2x + y = 1,
      求 1/x + 1/y 的最小值。

另外一个方法
令2x=(cosA)^2 ,  y=(sinA)^2

1/x+1/y = 2/(cosA)^2  +  1/(sinA)^2
=2(secA)^2 + (cosecA)^2
=2+2(tanA)^2 + 1+(cot A)^2
=3+2(tanA)^2 + (cot A)^2
≧3 + √2 tanA cotA
=3 +√2 最小

mathlim

原帖由 mathlim 于 23-10-2008 07:41 AM 发表
设 S = 1/x + 1/y
S = (2x + y)/x + (2x + y)/y
= 2 + y/x + 2x/y + 1
= 3 + y/x + 2x/y
≥ 3 + 2[(y/x)(2x/y)]^1/2
= 3 + 2√2
∴ S 的最小值为 3 + 2√2。

原帖由 朗木寺 于 7-11-2008 12:11 AM 发表
1．已知 x > 0, y > 0 且 2x + y = 1,
      求 1/x + 1/y 的最小值。
另外一个方法
令2x=(cosA)^2 ,  y=(sinA)^2
1/x+1/y = 2/(cosA)^2  +  1/(sinA)^2
=2(secA)^2 + (cosecA)^2
=2+2(tanA)^2 + 1+(cot A)^2
=3+2(tanA)^2 + (cot A)^2
≧3 + √2 tanA cotA
=3 +√2 最小

仔细一看，这两个方法实质上是一样的。
只是不同的形式展现罢了！

Ivanlsy

原帖由 mathlim 于 23-10-2008 07:41 AM 发表
设 S = 1/x + 1/y
S = (2x + y)/x + (2x + y)/y
= 2 + y/x + 2x/y + 1
= 3 + y/x + 2x/y
≥ 3 + 2[(y/x)(2x/y)]^1/2
= 3 + 2√2
∴ S 的最小值为 3 + 2√2。

1．已知 x > 0, y > 0 且 2x + y = 1,
      求 1/x + 1/y 的最小值。

另外一个方法
令2x=(cosA)^2 ,  y=(sinA)^2

1/x+1/y = 2/(cosA)^2  +  1/(sinA)^2
=2(secA)^2 + (cosecA)^2
=2+2(tanA)^2 + 1+(cot A)^2
=3+2(tanA)^2 + (cot A)^2
≧3 + √2 tanA cotA
=3 +√2 最小

两个答案不一样！

Ivanlsy

发现到那里不对了！

1．已知 x > 0, y > 0 且 2x + y = 1,
      求 1/x + 1/y 的最小值。

另外一个方法
令2x=(cosA)^2 ,  y=(sinA)^2

1/x+1/y = 2/(cosA)^2  +  1/(sinA)^2
=2(secA)^2 + (cosecA)^2
=2+2(tanA)^2 + 1+(cot A)^2
=3+2(tanA)^2 + (cot A)^2
≧3 + √2 tanA cotA
=3 +√2 最小

红色部分的应该是
   3 + 2(tanA)^2 + (cot A)^2
= 3 + [4(tanA)^2 + 2(cot A)^2] / 2
≧3 +  2 (tanA)√2 (cotA)
= 3+ 2√2

[ 本帖最后由 Ivanlsy 于 7-11-2008 11:32 PM 编辑 ]

朗木寺

原帖由 hamilan911 于 14-10-2008 05:37 PM 发表
c = -a-b, ab=1/c
c = -a-b >= 2sqrtab = 2sqrt[1/c]
c^2 >= 4/c
c^3 - 4 >= 0
get c >= 4^1/3 > 3/2

另外一个做法：
a,b,c必有一个大于0，不妨设是a,
b+c=-a
bc=1/a
b,c为方程 x^2+ax+1/a=0的两根
整理得到  ax^2+a^2 (x)+1=0
b,c为实数，因此
(a^2)^2-4(a)(1)≧0
a(a^3-4)≧0
a不小于0，因此a≧4^(1/3)>(27/8)^(1/3)=3/2

朗木寺

红色部分的应该是
   3 + 2(tanA)^2 + (cot A)^2
= 3 + [4(tanA)^2 + 2(cot A)^2] / 2
≧3 +  2 (tanA)√2 (cotA)

它们是一样的，因为
(a+b)/2 ≧√(ab) <=> a+b ≧2√(ab)

不过我是漏了一个2，是我的疏漏，不好意思。

[ 本帖最后由 朗木寺 于 7-11-2008 11:53 PM 编辑 ]

Ivanlsy

不错哦！其实我在回复之后也有注意到这点，不过懒惰修改。
下季《每周一题》等着你~