STPM-学校功课討論区

jinqwem

对不起，　请问题目要找什么？

回复 #298 cold_spoon 的帖子
请问，　the numbers 指的是什么数列?

~HeBe~_@

原帖由 Leong13 于 2-8-2007 07:38 PM 发表
請幫忙solve這題
dy/dx + 2y = 12x

若你是想找solution的话。

你就这样做。
Let dy/dx + P(x)y = Q(x)

        P(x) = 2 and Q(x) = 12x

你先找 alpha = e ^(Integrate P(x) dx) = answer1

然后找 d[alpha.y]/dx = alpha.Q(x)
          =>                  y = answer2

你就可以找到了。。
答案：General Solution is y = 6x -3 + ce^(-2x)

hamilan911

原帖由 <i>~HeBe~_@</i> 于 7-8-2007 09:58 PM 发表 <a href="http://chinese.cari.com.my/myforum/redirect.php?goto=findpost&pid=31255746&ptid=571631" target="_blank"><img src="http://chinese.cari.com.my/myforum/images/common/back.gif" border="0" onload="if(this.width>screen.width*0.7) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.7; this.alt='Click here to open new window\nCTRL+Mouse wheel to zoom in/out';}" onmouseover="if(this.width>screen.width*0.7) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.7; this.style.cursor='hand'; this.alt='Click here to open new window\nCTRL+Mouse wheel to zoom in/out';}" onclick="if(!this.resized) {return true;} else {window.open(this.src);}" onmousewheel="return imgzoom(this);" alt="" /></a><br />

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若你是想找solution的话。<br />
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你就这样做。<br />
Let dy/dx + P(x)y = Q(x)<br />
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        P(x) = 2 and Q(x) = 12x<br />
<br />
你先找 alpha = e ^(Integrate P(x) dx) = answer1<br />
<br />
然后找 d[alpha.y]/dx = alpha.Q(x)<br />
...

<br />
方法对了，不过答案有些问题，你检查一下

~HeBe~_@

我已经检查了。。。
应该没错吧？
我用检查的方法来检查：

y = 6x -3 + ce^(-2x)

dy/dx= 6 -2ce^(-2x); 2y = 2(6x -3 + ce^(-2x)) = 12x -6 + 2ce^(-2x)

dy/dx + 2y =  [ 6 -2ce^(-2x) ]  + [ 12x -6 + 2ce^(-2x) ] =  12x

hamilan911

原帖由 <i>~HeBe~_@</i> 于 8-8-2007 01:32 AM 发表 <a href="http://chinese.cari.com.my/myforum/redirect.php?goto=findpost&pid=31265288&ptid=571631" target="_blank"><img src="http://chinese.cari.com.my/myforum/images/common/back.gif" border="0" onload="if(this.width>screen.width*0.7) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.7; this.alt='Click here to open new window\nCTRL+Mouse wheel to zoom in/out';}" onmouseover="if(this.width>screen.width*0.7) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.7; this.style.cursor='hand'; this.alt='Click here to open new window\nCTRL+Mouse wheel to zoom in/out';}" onclick="if(!this.resized) {return true;} else {window.open(this.src);}" onmousewheel="return imgzoom(this);" alt="" /></a><br />
我已经检查了。。。<br />
应该没错吧？<img src="images/smilies/shocked.gif" smilieid="7" border="0" alt="" /> <br />
我用检查的方法来检查：<br />
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y = 6x -3 + ce^(-2x)<br />
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dy/dx= 6 -2ce^(-2x); 2y = 2(6x -3 + ce^(-2x)) = 12x -6 + 2ce^(-2x)<br />
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dy/dx + 2y =  [ 6 -2ce^(-2x) ]  + [ 12 ...

<br />
哈哈，我看错了，对不起

jinqwem

d[alpha.y]/dx = alpha.Q(x)
于是alpha.y= integrate(alpha.Q(x))
           =  integrate ( e^(2x) . 12 x)
           =  6x * e^(2x) - 6* e^(2x) + c
y = 6x -3 + c/e^(2x)
check
dy/dx + 2y = 6- 2c/e^(2x) + 2 ( 6x -3 + c/e^(2x))
           =  12x


[ 本帖最后由 jinqwem 于 8-8-2007 10:46 AM 编辑 ]

cold_spoon

原帖由 jinqwem 于 7-8-2007 09:19 PM 发表
对不起，　请问题目要找什么？

回复 #298 cold_spoon 的帖子
请问，　the numbers 指的是什么数列?

不好意思，那一题是有(a)，(b)的。我重新打题目出来。

(a) How many different 5-digit numbers can be formed using the digits 1,1,3,5,7？
(b) If the numbers are arranged from smallest to the largest, what are the two numbers in the 30th and 31st positions? Calculate the median and mean.

cold_spoon

原帖由 jinqwem 于 7-8-2007 08:59 PM 发表
第一题,
先假设有两个人,
那么,
最少两个人有相同生日的机率是
1- P(两个人不同生日)

原帖由 jinqwem 于 7-8-2007 09:16 PM 发表
第二题，　
a) 注意到 P( A U B ) = P(A) + P(B) - P ( A n B)
故．P( A U B )/[P(A) + P(B)]
= [P(A) + P(B) - P ( A n B)]/[P(A) + P(B)]
= 1- P ( A n B)/[P(A) + P(B)]
= 1- y

b) P ( A n B| A U  ...

已经抄下来研究了，如果有不明白我再发问，谢谢你的帮忙。

hamilan911

原帖由 cold_spoon 于 8-8-2007 02:52 PM 发表


不好意思，那一题是有(a)，(b)的。我重新打题目出来。

(a) How many different 5-digit numbers can be formed using the digits 1,1,3,5,7？
(b) If the numbers are arranged from smallest to the l ...

a) 5!/2! = 60
b) 30th is 31751,31st is 51137
so the median = (31751+51137)/2 = 41444

the total sum
=    204
    204
   204
  204
204
=2266644
so mean = 2266644/60

~HeBe~_@

没关系。。。。。

Leong13

我不是很明白這做法，可以explain一下嗎？

jinqwem

a) 应该不难...
b) 考虑到由1 开始的五位数有二十四个组合,
另3 开始的五位数有十二个组合, 故, 第三十为, 三开头第六小的五位数,
既31751,
回HAMILAN.
第三十一个不是 35117 吗?
所以MEDIAN应为６６６６８/2 = 33334...

C) 考虑在六十种不同组合中，　每个数字必在个十百千万的　位置上出现相同的次数，　故次数为12,  又当把六十个数字加起来时，　可以个位加个位等．．．
所以在个位数上的总数为 12* ( 1+1+3+5+7) = 204...
得答案．．．

~HeBe~_@

你的是First Oder ODE(Ordinary Differential Equation)

这个First Oder ODE分为很多种类，以下就是他们的种类：

1）Simple ODE
-  dy/dx  =  f(x)    =>     y = Integrate f(x) dx

2) Separable Equation
-  dy/dx  =  f(x)g(y)   =>   Integrate 1/g(y) dy = Integrate f(x) dx

3) Linear Equation
-  a dy/dx + by = 0    Linear Homogeneous ODE
-  a dy/dx + by = f(x) Linear Non-Homogeneous ODE


Linear Homogeneous ODE
- a(x) dy/dx + b(x) y = 0   
通常Linear Homogeneous ODE是Separable Equation因为
  a(x) dy/dx + b(x) y = 0
       dy/dx  = -b(x)/a(x) y
=>     dy/dx  =    f(x) .  g(y)

Linear Non-homogeneous Equation
- a(x) dy/dx  +  b(x)y = f(x)
- dy/dx + P(x)y = Q(x)     Standard form (Normal form)

还有Exact Equation等等。

你的是Linear Non-homogeneous Equation
- dy/dx + P(x)y = Q(x)     Standard form (Normal form)

Proof:
To solve this,we will re-write the equation into d[u(x))/dx = q(x)

             d[alpha(x).y]/dx  =  q(x)

      alpha^'.y + alpha dy/dx  =  q(x)    (注意：alpha就是alpha(x)的意思）

(alpha^'.y)/alpha + dy/dx  =  q(x)/alpha

dy/dx + (alpha^'.y)/alpha  =  q(x)/alpha

Compare with the standard form of the linear ODE

Therefore,
               alpha^'/alpha = P(x)
  
                  q(x)/alpha = Q(x)       (because  q(x) = alpha.Q(x))

Integrate alpha^'/alpha  dx  = Integrate P(x) dx

Integrate (1/alpha )(d alpha/ dx) dx = Integrate P(x) dx

              ln alpha  =  Integrate P(x) dx

              alpha (x) = e^(Integrate P(x) dx)      这是Integrating factor

By knowing alpha, we can calculate P(x)
Use q(x) to get u(x).   Use u(x) to get y

-----------------------------------------------------------------------------------

总而言之：

你用以下的formula就行了。

当你看到这样的form:  dy/dx + P(x)y = Q(x)

就先找    alpha = e^(Integrate P(x) dx) = 得答案（知道alpha的答案后代进以下的equation)           

    d[alpha.y]/dx  =  alpha.Q(x)

=>        alpha.y  =   Integrate  alpha.Q(x)  dx

=>              y  =   (          )/alpha
                  
                   =   答案

hamilan911

回jinqwem,第31个是35117，想错了

cold_spoon

原帖由 jinqwem 于 8-8-2007 08:21 PM 发表
a) 应该不难...
b) 考虑到由1 开始的五位数有二十四个组合,
另3 开始的五位数有十二个组合, 故, 第三十为, 三开头第六小的五位数,
既31751,
回HAMILAN.
第三十一个不是 35117 吗?
所以MEDIAN应为６６ ...

（b)青色部分我不大明白。为什么由1开始的5位数有24个组合，这24是怎样得到的？
为什么第31个又是31751呢？

(c)我也是不明白。为什么位置上出现相同的次数是12？

感觉自己快被probability搞晕了...

cold_spoon

原帖由 hamilan911 于 8-8-2007 04:45 PM 发表

a) 5!/2! = 60
b) 30th is 31751,31st is 51137
so the median = (31751+51137)/2 = 41444

the total sum
=    204
    204
   204
  204
204
=2266644
so mean = 2266644/60

为什么total sum是204？我不大明白你的方法，可以解释吗？

jinqwem

设1 开头的五位数,( 1 在万位上) 例, 1XXXX
那么个十百千剩下四个数字, 1, 3, 5, 7
因四个数字有二十四种排列方法,
故,1XXXX 的组合有二十四...
下来看3XXXX的,
当前两个是31XXX时, 剩下数字是1,5, 7
因三个数字有六种排法,
故31XXX 组合中最大的数字, 就是第(24+6) 个数字,
得31751,
下一个数字就是35117...

TOTAL sum 是指六十个组合里, 每个组合个位数加起来的sum,
注意当3是尾数, 如XXXX3 时,
剩下的数字是1,1,5,7
故以3为结尾的数字有12种不同组合,
所以60个组合里有十二个其尾数是3,
依此类推,
十二个其尾数是5
十二个其尾数是7
二十四个其尾数是1
所以在个位数上的和是 12*3 + 12*5 + 12*7 + 24*1 = 204...

Leong13

上面的部分我清楚，可是如果是linear non﹣homogeneous equation 我們不是應該用substitution來做嗎？

Leong13

對不起，我打錯題目，題目應該是 x dy／dx  ＋ ２y ＝ １２x

~HeBe~_@

x dy／dx  ＋ ２y   ＝ １２x       记得把他换成这个form => dy/dx + P(x)y = Q(x)

=>    dy/dx  + (2/x)y  =  12

Let P(x) = 2/x  and  Q(x) = 12


   alpha = e^(Integrate P(x) dx)

   alpha = e^(Integrate 2/x dx)
         = e^(2ln x)
         = x^2

Thus, d[alpha.y]/dx  =  alpha.Q(x)

      d[x^2 . y]/dx  =  x^2 . Q(x)

        x^2 . y      = Integrate [ x^2 . 12 ] dx

        x^2 . y      = Integrate [  12x^2  ] dx

        x^2 . y      = 4x^3  +  c

              y      = 4x    +  c x^(-2)

Therefore, the general solution is   y = 4x + c x^(-2)