STPM-学校功课討論区

dunwan2tellu

3．        Given f(x)= x^5-3x^4+2x^3-2x^2+3x+1
Show by long division or otherwise that the remainder when f(x) is divided by x^2+1 is 2x
这样的除数(x^2+1)我每次不会做！（好像第2题）因为除了后比如说乘x^2，可是就是没有x^3，乘了x就是没有x^2。各位可以教教在下吗？然后题目所谓的otherwise的方法，我是这样做
X^2+1=0
所以x= +- i (complex number)
代替 x = + i 就做到了，可是 – i 却做不到。这样的方法可以被接受吗？

把 x^2 + 1 看成 1+0+1
x^5-3x^4+2x^3-2x^2+3x+1 ==> 1 - 3 + 2 - 2 + 3 + 1

然后用 1 + 0 + 1 除于 1-3+2-2+3+1

哪里有“hence or otherwise" ?

shijim

原帖由 dunwan2tellu 于 6-9-2006 07:56 PM 发表


把 x^2 + 1 看成 1+0+1
x^5-3x^4+2x^3-2x^2+3x+1 ==> 1 - 3 + 2 - 2 + 3 + 1

然后用 1 + 0 + 1 除于 1-3+2-2+3+1

哪里有“hence or otherwise" ?

版主还会选最难的一题来做
实在太厉害了！什么都回！

其他的我也不懂
尤其是除以x^2+1的

dunwan2tellu

2．        When a polynomial is divided by ax-b or bx-a where [a]=/ ([ ] 为modulus，可是这里不明白代表什么意思) the remainder are the same even though the respective quotients q1(x) and q2(x) are not necessarily the same. Show that ax-b is a factor of q2(x) and x-1 is a factor of q1(x) + q2(x).

[a]=/  ????

let P(x) be the polynomial . Suppose the remainder upon divisible by ax-b and bx-a are r(x) , then

P(x) = q1(x)(ax-b) + r(x) = q2(x)(bx-a)+r(x)

==> q1(x)(ax-b) = q2(x)(bx-a)

如果要 ax-b is a factor of q2(x) , 先要知道 ax-b 不是 bx-a 的 factor .也就是说必须是 a=/= b .如果没有这个条件，那么就不成立。反之则成立。

becasue q1(x) = q2(x)(bx-a)/(ax-b)

=> q1(x)+q2(x) = q2(x)(bx-a)/(ax-b) + q2(x) = q2(x) (x-1)(a+b)/(ax-b)

since we know that ax-b is a factor of q2(x) so we can write q2(x) = (ax-b)q3(x)

so q1(x)+q2(x) = q2(x) (x-1)(a+b)/(ax-b) = q3(x)(ax-b) (x-1)(a+b)/(ax-b)= q3(x)(a+b)(x-1)

which means (x-1) is a factor of q1(x) + q2(x)

dunwan2tellu

Long Division 可以参考

http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac01/fac01.html

在不然你 google search "long division" 去看多一些 example 吧！看多就会了。

shijim

原帖由 dunwan2tellu 于 6-9-2006 07:52 PM 发表


26^n - 26 = 26(26^(n-1) - 1) = 26(26-1)(26^(n-2) + 26^(n-3) + ... + 1)
= 13 x 50 x (26^(n-2) + 26^(n-3) + ... + 1)

So it is a mutiple of odd 50 since 13 is odd and (26^(n-2) + 26^(n-3) + .. ...

26(26-1)(26^(n-2) + 26^(n-3) + ... + 1)
你怎么想到的？
很聪明！

26^n - 26 = 50(2k+1)  for k=non negative integer

so 26^n = 100k+ 50 + 26 = 100k + 76

这步更妙！！简直是佩服得五体投地！！
你是怎么想到的？好厉害啊！！

我可不可以说既然k大过1，那么100最小是100，所以加上76，后面2个数字一定是76

a=/ 的意思是 modulus of a is not equal to modulus of b
long divison我会了
原来只是照除罢了

[ 本帖最后由 shijim 于 7-9-2006 10:43 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

我可不可以说既然k大过1，那么100最小是100，所以加上76，后面2个数字一定是76

就算 k = 0 也成立。因为乘上一百就好比把你个数目的 last two digit 变成 0 .那么当你加上一个 2 位数号码，自然那 2 位数号码就是你的 last two digit .

ss_sky87

简单的一个。。（对你们来说）

sin 2x + sin 3x + sin5x = 0    , 0<=x<=180 , find x

dunwan2tellu

应该是

sin2x+sin3x+sin5x
=2(sinx)(cosx) + 2(sin4x)(cosx)
=2cos x(sin x+sin 4x)
=4(cos x)(sin 5x/2)(cos 3x/2) = 0

nikuang04

原帖由 dunwan2tellu 于 12-9-2006 07:08 发表
应该是

sin2x+sin3x+sin5x
=2(sinx)(cosx) + 2(sin4x)(cosx)
=2cos x(sin x+sin 4x)
=4(cos x)(sin 5x/2)(cos 3x/2) = 0

原来是我错了
不好意思
珊帖，不然会误导人

[ 本帖最后由 nikuang04 于 12-9-2006 02:21 PM 编辑 ]

無聊人

刚刚看了这两题目
第一题的(ii)会做可是我看已提供的答案，看不明白

第二题的(i)我不会做



大家来帮帮我

dunwan2tellu

(i) 用 Integration by parts

$(ln x)^2 dx = x(ln x)^2 - 2$(ln x)dx = x(ln x)^2 - 2[x(ln x) - $dx]
            = x(ln x)^2 - 2x(ln x) + 2x + C

(ii) 那个部分不明白？

2(i)I_2 = $ x^2 sqrt[x^2+1]dx [0->1]
let x = sinh t , dx = cosh t dt
I_2 = $ (sinh t)^2 (cosh t)^2 dt = 1/4 $ (sinh 2t)^2 dt
    = 1/4 $ (cosh 4t-1)/2 dt [0->ln(1+sqrt[2])]
    ......

不过我做到的是

1/8 [ 3Sqrt[2] - ln[1+sqrt[2]]]

我用 mathematica 来 check 也是 - , 不是 +

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 13-9-2006 11:36 AM 编辑 ]

無聊人

原帖由 dunwan2tellu 于 13-9-2006 11:31 AM 发表
(i) 用 Integration by parts

$(ln x)^2 dx = x(ln x)^2 - 2$(ln x)dx = x(ln x)^2 - 2
            = x(ln x)^2 - 2x(ln x) + 2x + C

(ii) 那个部分不明白？

2(i)I_2 = $ x^2 sqrtdx
let x = sinh t ...

第一题，我想看(ii)，不是(i)，因为(i)我会做

2(i)就奇怪了，那么我的老师写错咯？我没有看错啊，纸上面是写着+

dunwan2tellu

用 cyclinder 的 volume = pi x (e - 1/e) 减掉
上部分的体积 = 2pi $ (ln y)^2 dy [1->e]

和

下部分的体积 = 2 pi $ -(ln y)^2 dy [1/e ->1]

cold_spoon

原来STPM的帖子就在板块上面，难怪我找了很久都找不到。我有个关于Integration的问题需要你们帮忙。

(Integration)

Sketch the graphs of y = (x-2)^2 + 1, y = 6 - (x-3)^2, and find the coordinates of the points of intersection. Show, by integration, that the area of the region enclosed  by 2 arcs btw the points of intersection is 9 square units.

[ 本帖最后由 cold_spoon 于 16-4-2007 06:02 PM 编辑 ]

wounboshen

原帖由 cold_spoon 于 16-4-2007 03:28 PM 发表
原来STPM的帖子就在板块上面，难怪我找了很久都找不到。我有个关于Integration的问题需要你们帮忙。

(Integration)

Sketch the graphs of y = (x-2)^1 + 1, y = 6 - (x-3)^2, and find the coordinates o ...

真的是power 1 吗？

cold_spoon

原帖由 wounboshen 于 16-4-2007 03:36 PM 发表


真的是power 1 吗？

paiseh，应该是power 2。我编辑我的问题了。谢谢你发现原来我的问题里面还有另外一个“问题”

dunwan2tellu

原帖由 cold_spoon 于 16-4-2007 03:28 PM 发表
原来STPM的帖子就在板块上面，难怪我找了很久都找不到。我有个关于Integration的问题需要你们帮忙。

(Integration)

Sketch the graphs of y = (x-2)^2 + 1, y = 6 - (x-3)^2, and find the coordinates of the points of intersection. Show, by integration, that the area of the region enclosed  by 2 arcs btw the points of intersection is 9 square units.

找 intersection point :

(x-2)^2 + 1 = 6 - (x-3)^2

2x^2 - 10x + 8 = 0

2(x-1)(x-4)=0 => x = 1 , 4


sketch 图画发现到市两个 quadratic function 的 graph . 一个 U shape , 一个 n shape . 所以你要的 area 是 n shape 减掉 U shape 的 area

n shape area : Integrate[6 - (x-3)^2 dx]  from x=1 to x=4
U shape area : Integrate[(x-2)^2 + 1 dx] from x=1 to x=4

那么两个 area 相减就是你要的 area

wounboshen

原帖由 dunwan2tellu 于 16-4-2007 06:57 PM 发表


找 intersection point :

(x-2)^2 + 1 = 6 - (x-3)^2

2x^2 - 10x + 8 = 0

2(x-1)(x-4)=0 => x = 1 , 4


sketch 图画发现到市两个 quadratic function 的 graph . 一个 U shape , 一 ...

这有问题吗：
Let
f(x)=(x-2)^2 + 1
g(x)=6 - (x-3)^2

area
= Integrate[ g(x)-f(x)] from x=1 to x=4
= Integrate[ -2x^2 + 10x - 8 dx] from x=1 to x=4

dunwan2tellu

原帖由 wounboshen 于 17-4-2007 11:30 PM 发表


这有问题吗：
Let
f(x)=(x-2)^2 + 1
g(x)=6 - (x-3)^2

area
= Integrate from x=1 to x=4
= Integrate from x=1 to x=4

没问题

cold_spoon

原帖由 dunwan2tellu 于 16-4-2007 06:57 PM 发表


找 intersection point :

(x-2)^2 + 1 = 6 - (x-3)^2

2x^2 - 10x + 8 = 0

2(x-1)(x-4)=0 => x = 1 , 4


sketch 图画发现到市两个 quadratic function 的 graph . 一个 U shape , 一 ...

谢谢。先抄下来研究，如有问题再贴上来。