怎样prove 这题？（math indcution)

tan6260

11^n -6  is divisible by 5,for all n ≥  1  file:///C:/DOCUME%7E1/Owner/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/10/clip_image004.gif

[ 本帖最后由 tan6260 于 27-7-2007 03:11 PM 编辑 ]

kimsiang

11^n -6  is divisible by 5,for all n ≥  1...
n为至少1的整数。由二项定理(binomial theorem),
(11)^n =(5+6)^n = Sigma(r=0 to n) nCr (5^(n-r))(6^r)
                = 5^n + nC1 5^(n-1)x6 + nC2 5^(n-2)x6^2+.....
                  +nC(n-1) 5x6^(n-1) + 6^n
所以，11^n -6 = 5^n + nC1 5^(n-1)x6 + nC2 5^(n-2)x6^2+.....
                  +nC(n-1) 5x6^(n-1) + 6^n -6
前面的n个项(n terms)都是5的倍数。所以前面的项都可以被5所除。
最后两项是6^n -6。看起来虽然很复杂，不过可以注意到6^n的尾数永远是6，所以 6^n -6的尾数是0-->10的倍数-->也就是5的倍数（10=5x2）。所以n+2个项全都能被5整除-->11^n -6 可以被5整除。

或者可以用同样的理论，11^n -6 = 11^n - 11 + 5
11^n-11的尾数一定是0 -->10的倍数-->5的倍数-->11^n -6 可以被5整除。

[ 本帖最后由 kimsiang 于 28-7-2007 01:48 AM 编辑 ]

jinqwem

它这个是INDUCTION, 也就是说,
要设, 11^N - 6 可以被5 整除,
然后, 设11^X - 6可以被5 整除时,
11^(X+1) - 6 也可以被 5 整除.

bomber27

11^n - 6 = 1^n - 1 (mod 5)

1^n - 1 = 0
n >= 0

hamilan911

要用induction
number theory的做法就不能用了，虽然number theory比较简单

mathlim

利用数学归纳法证明：
11^n - 6 可以被 5 整除，n ≥ 1,n∈Z。

证：
1）当 n = 1 时，11^1 - 6 = 11 - 6 = 5 可以被 5 整除，
   ∴ 当 n = 1 时，命题成立。
2）假设当 n = k 时命题成立，即 11^k - 6 可以被 5 整除，
   当 n = k + 1 时，
   11^(k+1) - 6 = 11×11^k - 6
                = 11×11^k - 66 + 60
                = 11×(11^k - 6) + 60 可以被 5 整除，
   这就是说，当 n = k + 1 时，命题也成立。
故由数学归纳法原理得知此命题对于任何 n ≥ 1,n∈Z 都成立。

mathlim

利用因式定理(factor theorem)证明：
11^n - 6 可以被 5 整除，n ≥ 1,n∈Z。

设 f(x) = (2x + 1)^n - (x+1),n ≥ 1,n∈Z。
f(0) = (2×0 + 1)^n - (0+1)
     = 1 - 1
     = 0
由因式定理得知 f(x)有x的因式，
即 f(x) = (2x + 1)^n - (x+1) 可以被x整除。
当 x = 5，
11^n - 6,n ≥ 1,n∈Z 可以被5整除。