TRML

在ΔABC中，M為AB的中點，BD為∠ABC的平分線，D在AC上。若MD⊥BD，且AB＝2，試求BC之長。

dunwan2tellu

找不到美丽的几何解，只好用 trigo ....

因为 <MDB = 90 , 所以 MBD 是半圆，半径为1/2 ，直径是 MB .因此 BC 是圆形的 tangent line , 故 <ABC = 90 ==> <MBD = <DBC = 45

所以得到 <AMD = 135 , 用 cosine rule 得到

AD = Sqrt[5/2]

用 sine rule 得到 sin<BAC = 1/sqrt[10] ==> tan<BAC = 1/3

因此 BC = AB x tan<BAC = 2/3


题外话：何谓 TRML ?

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 21-8-2006 10:15 PM 编辑 ]

TRML＝台灣區高中數學競賽

1、延長MD，交直線BC於E
2、作AF平行MD，交直線BD於F
3、∵DE＝DM＝1/2FA
∴DE：AF＝1：2
4、∵BD為∠ABC的平分線
∴BC：AB＝CD：DA＝DE：AF＝1：2
故BC＝1/3AB＝2/3

dunwan2tellu

4、∵BD為∠ABC的平分線
∴BC：AB＝CD：DA＝DE：AF＝1：2
故BC＝1/3AB＝2/3

这里很奇怪。为何 CD : DA =DE : AF

如果这是对的，那么岂不是 BC : AB = 1 : 2 ==> BC = 1/2 AB = 1 ??

原帖由 dunwan2tellu 于 22-8-2006 06:21 PM 发表


这里很奇怪。为何 CD : DA =DE : AF

如果这是对的，那么岂不是 BC : AB = 1 : 2 ==> BC = 1/2 AB = 1 ??

抱歉
忙中有錯
【更正版】
1、延長MD，交直線BC於E
2、作AF平行MD，交直線BC於F
3、∵DE＝1/2EM＝1/4FA
∴CD：CA＝DE：AF＝1：4，則CD：DA＝1：3
4、∵BD為∠ABC的平分線
∴BC：AB＝CD：DA＝1：3
故BC＝1/3AB＝2/3

延長MD,交直線BC於E
∵BD為∠ABC的平分線，MD⊥ BD
∴BE＝BM＝1，MD＝DE
設BC=x，則CE＝1－x
利用孟氏(Menelaus)定理，得
(BA/BM)(MD/DE)(EC/CB)=1
(2/1)(1)﹝(1－x)/x﹞=1
x=2/3

dunwan2tellu

上面两个解都很美。但是 Menelaus Theorem 不应该是

BA/AM * MD/DE * EC/CB = 1 吗？（虽然并没有分别因为 AM=BM )

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 23-8-2006 10:57 PM 编辑 ]

原帖由 430201 于 23-8-2006 04:02 PM 发表
延長MD,交直線BC於E
∵BD為∠ABC的平分線，MD⊥ BD
∴BE＝BM＝1，MD＝DE
設BC=x，則CE＝1－x
利用孟氏(Menelaus)定理，得
(BA/BM)(MD/DE)(EC/CB)=1
(2/1)(1)﹝(1－x)/x﹞=1
x=2/3

抱歉打錯了
謝謝指正
我再提供另一求法
方才剛出爐的

取BM中點E，連DE
則DE平行BC，DE＝1/2BM＝1/2

∵DE：BC＝AE：AB
∴1/2：BE＝3/2：2
故BE＝2/3

原帖由 430201 于 23-8-2006 11:12 PM 发表

抱歉打錯了
謝謝指正
我再提供另一求法
方才剛出爐的

取BM中點E，連DE
則DE平行BC，DE＝1/2BM＝1/2

∵DE：BC＝AE：AB
∴1/2：BE＝3/2：2
故BE＝2/3

【修     正】
真的老了
又又打錯了

取BM中點E，連DE
則DE平行BC，DE＝1/2BM＝1/2

∵DE：BC＝AE：AB
∴1/2：BC＝3/2：2
故BC＝2/3

dunwan2tellu

原帖由 430201 于 23-8-2006 11:19 PM 发表

【修     正】
真的老了
又又打錯了

取BM中點E，連DE
則DE平行BC，DE＝1/2BM＝1/2

∵DE：BC＝AE：AB
∴1/2：BC＝3/2：2
故BC＝2/3

如何看出 DE//BC ? （应该不是用圆形特征吧？）

原帖由 dunwan2tellu 于 23-8-2006 11:35 PM 发表


如何看出 DE//BC ? （应该不是用圆形特征吧？）

取BM中點E，連DE
∵∠BDM直角
∴BE＝DE＝EM，則∠BDE＝∠EBD
又BD為∠ABC的平分線，即∠ABC＝2∠EBD
∴∠MED＝∠EBD＋∠BDE＝2∠EBD＝∠ABC
則DE平行BC

原帖由 dunwan2tellu 于 21-8-2006 10:14 PM 发表
找不到美丽的几何解，只好用 trigo ....

因为 <MDB = 90 , 所以 MBD 是半圆，半径为1/2 ，直径是 MB .因此 BC 是圆形的 tangent line , 故 <ABC = 90 ==> <MBD = <DBC = 45

所以得到 <A ...

因为 <MDB = 90 , 所以 MBD 是半圆，半径为1/2 ，直径是 MB .【正确！】
因此 BC 是圆形的 tangent line ,【未必？】

dunwan2tellu

我对上面三个解答都没异议了。
可是我的解答就有问题了

谢谢你分享你的解答。

原帖由 dunwan2tellu 于 24-8-2006 01:59 PM 发表
我对上面三个解答都没异议了。
可是我的解答就有问题了

谢谢你分享你的解答。

您是很厲害的
不好意思
剛好這一題我會
哈哈

dunwan2tellu

我想到一个类似的解法：

取 BM 中点为 E . 取 BC 线上点 F 使到 <FBD = <BDF

那么 BMD 是半圆，半径为 BE = 1/2 .

因为 <EDB = <EBD = <FBD = <BDF ,且 BD 共线，所以 EBD 和 FBD congruent .

所以 BF = DF = BE = 1/2

又因为 <DFC = <BDF + <BDF = 2<BDF = 2<EBD = <ABC ,而且 <C = <C , 所以 ABC 和 DFC similar

因此 AB : BC = DF : FC ==> 2 : BC = 1/2 : (BC-1/2)

<==> 1/2 BC = 2BC - 1 <==> BC = 2/3

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 25-8-2006 11:10 AM 编辑 ]

原帖由 dunwan2tellu 于 25-8-2006 11:08 AM 发表
我想到一个类似的解法：

取 BM 中点为 E . 取 BC 线上点 F 使到 <FBD = <BDF

那么 BMD 是半圆，半径为 BE = 1/2 .

因为 <EDB = <EBD = <FBD = <BDF ,且 BD 共线，所以 EBD 和 FBD co ...

棒
您真行

原帖由 dunwan2tellu 于 25-8-2006 11:08 AM 发表
我想到一个类似的解法：

取 BM 中点为 E . 取 BC 线上点 F 使到 <FBD = <BDF

那么 BMD 是半圆，半径为 BE = 1/2 .

因为 <EDB = <EBD = <FBD = <BDF ,且 BD 共线，所以 EBD 和 FBD co ...

取 BM 中点为 E . 取 BC 线上点 F 使到 <FBD = <BDF
那么 BMD 是半圆，半径为 BE = 1/2 .
因为 <EDB = <EBD = <FBD = <BDF ,且 BD 共线，所以 EBD 和 FBD congruent .
所以 BF = DF = BE = 1/2
又因为 <DFC = <BDF + <BDF = 2<BDF = 2<EBD = <ABC ,而且 <C = <C , 所以 ABC 和 DFC similar
因此 AB : BC = DF : FC ==> 2 : BC = 1/2 : (BC-1/2)【？？】
<==> 1/2 BC = 2BC - 1 <==> BC = 2/3

在題意並未說明∠CDB＞∠CBD的情況下
當您取<FBD = <BDF時
F未必會介於B、C之間
即FC＝BC-1/2未必成立

如果取 BC线上点 F， 使DF平行BM
您覺得如何？

dunwan2tellu

但是 <CDB = <BAC + <ABD  >  <ABD = <CBD

如果取 BC线上点 F， 使DF平行BM
您覺得如何？

这也行得通

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 27-8-2006 02:34 PM 编辑 ]

原帖由 dunwan2tellu 于 26-8-2006 11:35 PM 发表
但是 <CDB = <BAC + <ABD  >  <ABD = <CBD




这也行得通

您的方法很好
OK