马大数学系，每周一题。（2006/07, 第二学期）

pipi

马大数学系，每周一题。

有兴趣的网友，可到
http://omega.math.um.edu.my/Ismweb/Omega/problem.htm
游览。

注：请在问题提交截止后，才在网上公开讨论！

[ 本帖最后由 pipi 于 6-1-2007 06:43 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

外人也可以参加吗？还是只有马大生？

pipi

原帖由 dunwan2tellu 于 21-7-2006 02:54 PM 发表
外人也可以参加吗？

当然，当然！将答案寄到相关的网址（最好附上姓名，学校名称，年级），便可。

还是注意：请在问题提交截止后，才在网上公开讨论！

dunwan2tellu

原帖由 pipi 于 21-7-2006 05:29 PM 发表

当然，当然！将答案寄到相关的网址（最好附上姓名，学校名称，年级），便可。

还是注意：请在问题提交截止后，才在网上公开讨论！

原来如此，谢谢 pipi
那么要写 solution 有指定要 pdf 还是什么吗？
对了，这“每周一题”是 pipi 负责的吗？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 21-7-2006 05:45 PM 编辑 ]

pipi

那么要写 solution 有指定要 pdf 还是什么吗？

不需要。
我收到你的解答了，谢谢！
答案将在截止日期之后的星期四公布！

这“每周一题”是 pipi 负责的吗？

正是！
已经是第三年了！不过现在才＂上网＂。

pipi

第一题的答案与第二个问题已出来了！
去玩玩吧！
http://www.math.um.edu.my/Ismweb/Omega/problem.htm

nikuang04

还有一个日薪的学生答对呢
是不是dunwant2tellu版主呢？
只是想知道一下
你们真的很厉害！

pipi

我期待更多的佳礼网友参与！

铁蛋

呵呵，闲来没事我也插一脚。

pipi

原帖由 铁蛋 于 1-8-2006 02:04 PM 发表
呵呵，闲来没事我也插一脚。

多谢你的支持！！

顺便再次呼吁各位网友，来玩玩吧！

dunwan2tellu

铁蛋兄是来自NUS,department of stat and applied prob 的？
pipi 现在是 UM 的 tutor 吗？

铁蛋

这个猜中没奖 ...

Pipi. ISM 学生的反应如何呢?

pipi

原帖由 铁蛋 于 11-8-2006 03:16 PM 发表
ISM 学生的反应如何呢?

感觉上，比以前好一些。
也许，“神秘礼物”吸引不到“忙碌”的大学生。。。
也许，他们觉得题目该容易一些吧！

许多学生会去看题目，看解答，。。。，这样就够了吧，他们想。

不过，我们也早已经知道了。。。自得其乐，便是了。
欣慰的是，第三题收到好几个不一样的做法。。。


大家加油！

dunwan2tellu

铁蛋的方法不错！我一直在想如何能直接用 combinatorial type 的 solution , 不过就是无法从原题直接把 LHS , RHS 扯上关系。原来是要前半步用 combinatorial solution ,后半步靠 algebra .我在想，到底有没有纯 combinatorial type solution 呢？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 14-8-2006 03:38 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

我对problem 5 有疑问

n equal part 是指每一个 segment 都有同样的面积吗？

pipi

可以这么说，或者更直接的理解：
A_0A_1 的弧长 = A_1A_2 的弧长 =...= A_{n-1}A_0 的弧长。

明显的，n = 2 时，x_1 便是直径 = 2。
        n = 4 时，容易算出 x_1=sqrt(2)=x_3, x_2=2, 所以x_1x_2x_3 = 4。

那么，一般的情况呢？？

dunwan2tellu

原帖由 pipi 于 21-8-2006 03:33 PM 发表
可以这么说，或者更直接的理解：
A_0A_1 的弧长 = A_1A_2 的弧长 =...= A_{n-1}A_0 的弧长。

明显的，n = 2 时，x_1 便是直径 = 2。
        n = 4 时，容易算出 x_1=sqrt(2)=x_3, x_2=2, 所以x_1x_2x_3 = 4 ...

懂了！谢谢

dunwan2tellu

Week 4 的 solution 有提到 Wai Wai 用 induction 来证明。不过我没有头绪他怎么用。可以大略讲吗？

如果说 assume 1 + 1/2 + ... + 1/n = r/s where r=odd , s = even is true for even n then
1+ 1/2 + .. + 1/n+1 自然也不是 integer . 但是如果　n = odd 又如何？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 22-8-2006 03:40 PM 编辑 ]

pipi

如果 1 + 1/2 + ... + 1/n = r/s， r 是奇数 , s 是偶数。
设 s=2^k(m)，m 是奇数。
那么 1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(n+1) = r/s + 1/(n+1) 可分成两个部分来考虑：

(i) 2^k <= n+1 < 2^(k+1)
(ii)     n+1 = 2^(k+1)

试试看...

[ 本帖最后由 pipi 于 23-8-2006 09:22 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 pipi 于 23-8-2006 09:19 PM 发表
如果 1 + 1/2 + ... + 1/n = r/s， r 是奇数 , s 是偶数。
设 s=2^k(m)，m 是奇数。
那么 1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(n+1) = r/s + 1/(n+1) 可分成两个部分来考虑：

(i) 2^k <= n+1 < 2^(k+1)
(ii)    ...

明白了