F4 Add Maths - Quadratic Function

menglee

参考书里的几个问题不会做，想请大家帮帮忙：

1. Find the range of value of x for which 2x^2-6x+5 lies between 1 and 25.

2. Find the range of values of m for which y=m(x^2-1) +4x+5 is always positive.

第二题我做到的答案是m>4,m<1，可是后面的答案是1<m<4

hamilan911

原帖由 menglee 于 16-5-2006 02:55 PM 发表
参考书里的几个问题不会做，想请大家帮帮忙：

1. Find the range of value of x for which 2x^2-6x+5 lies between 1 and 25.

2. Find the range of values of m for which y=m(x^2-1) +4x+5 is always pos ...

1. 1 < 2x^2 - 6x + 5 < 25
2x^2 - 6x + 4 > 0
2(x-2)(x-1) > 0    -> x<1 ,x>2
2x^2 - 6x - 20 < 0
2(x-5)(x+2) < 0    -> -2<x<5

取两个range的intersection,得 -2<x<1 , 2<x<5

2.mx^2 + 4x + 5 - m >0  说明no solution for y = 0
用b^2 - 4ac < 0
16 - 4m(5-m) < 0
4m^2 - 20m + 16 < 0
4(m-1)(m-4) < 0
得 1<m<4.

[ 本帖最后由 hamilan911 于 16-5-2006 03:40 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

1）2x^2-6x+5 lies between 1 and 25.
means 1=< 2x^2-6x+5<25

From 1< 2x^2-6x+5 ===> 2x^2-6x+4>0  --> 2(x-1)(x-2)>0
--> x>2 , x< 1 ...(i)

From 2x^2-6x+5<25 --> 2x^2-6x-20<0 -->2(x-5)(x+2)<0
--> -2< x < 5 ...(ii)

From (i),(ii) ,the range is  -2<x<1 ; 2<x<5

2)y=m(x^2-1) +4x+5 is always positive.
means y=m(x^2-1) +4x+5>0

Consider three cases
(i) if m <0 , then it is n shape parabola , and it cannot be always >0
(ii)if m=0 then y=4x+5 which is also not always >0 ( example when x=-3)
(iii)if m>0 then since it is U shape parabola , y=mx^2+4x+5-m , using b^2-4ac <0

16-4m(5-m)<0 -->4m^2 -20m +16 < 0 --> 4(m-1)(m-4)<0
==> 1<m<4

哈哈，hamilan911 已经比我快一步了！

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 16-5-2006 03:23 PM 编辑 ]

menglee

如果不画图表怎样可以直接知道4(m-1)(m-4)<0
==> 1<m<4。
还有4(m-1)(m-4)<0不可以直接simplify成(m-1)(m-4)<0吗？

--> x>2 , x< 1 ...(i)
--> -2< x < 5 ...(ii)
的intersection怎样知道?

[ 本帖最后由 menglee 于 16-5-2006 04:38 PM 编辑 ]

hamilan911

原帖由 menglee 于 16-5-2006 04:32 PM 发表
如果不画图表怎样可以直接知道4(m-1)(m-4)<0
==> 1<m<4。
还有4(m-1)(m-4)<0不可以直接simplify成(m-1)(m-4)<0吗？

4(m-1)(m-4)<0是可以直接simplify成(m-1)(m-4)<0的。
你所谓的画图是garis nombor吗？其实不画图是可以知道range的。
ax^2 + bx + c = 0
若a > 0 ,graf会是U shape的。你可以想象一个U shape的graph,y=0的地方是x=m 和 x=n (m和n是它的root，m<n)
那么若y>0,则 x<m ,x>n
若y<0，则m<x<n.
若a < 0, ,graf会是反U shape的。你可以想象一个反U shape的graph,y=0的地方是x=m 和 x=n (m和n是它的root，m<n)
那么若y>0,则 m<x<n
若y<0，则x<m ，x>n.

但一般上考试都必须tunjuk langkah,所以你必须把他画出来，而且其他较复杂的function,你必须懂得graf如何画，才可以知道他的range.建议你保险起见，还是把他画出来比较安全。
这方法可以拿来double check answer.
至于intersection,你可以把garis nombor画出来，在原有的range上+ 和 - 的符号，就可以知道了。
dunwan2tellu ,你不是有mathematica吗？不如把garis nombor的一些技巧帖上来吧，比较容易看得清楚。

[ 本帖最后由 hamilan911 于 16-5-2006 04:51 PM 编辑 ]

menglee

还有，请问在画number line的时候怎样分向左还是右？谢谢

hamilan911

原帖由 menglee 于 16-5-2006 05:02 PM 发表
还有，请问在画number line的时候怎样分向左还是右？谢谢

是指number line的箭头指向左右之类吗？
用例子解释会较清楚。
(x-1)(2-x) > 0
let x-1 >0  ->   x>1
2-x >0      ->   x<2
那么就画一条number line ,两点是1和2。
x>1 ,箭头指向右方，线上的符号是+，左方的“空白处”（没箭头的）符号是-
x<2 ,箭头指向左方，线上的符号也是+,右方的“空白处”符号是-
一般上我们都let例子中的 x-1和2+x 大过0，那么我们在画number line 时只需依照所找到的range画向左或向右（大过向右，小过向左），过后就一律在线上的符号放+ ,这样就不会搞混了。  

而所要找的range就是要看这些符号相乘的结果了，如 ++得+， +-得-，-+得-,--得+。过后根据题目所求找出range,若<0就取-的部分，>0就取+的部分。

menglee

真是非常谢谢你，明天要考试今天才恶补。

dunwan2tellu

其实作图很容易（最快的方法！）



这是那题 (m-1)(m-4)<0 的题目。颜色部分是你要的 range .

menglee

如果遇到没有intersect x-axis的case是不是就不能用画graph的方法呢？

dunwan2tellu

原帖由 menglee 于 16-5-2006 05:36 PM 发表
如果遇到没有intersect x-axis的case是不是就不能用画graph的方法呢？

form 4 add math quadratic function 的题目，来来去去都是那几题，跑不掉的 。通常他们都会出 f(x)=(x-a)(x-b)的 pattern 的题目，所以大部分都能用　graph sketching 来做。

如果没有　x-intersecting , 那么通常这类题目都和　b^2-4ac < 0 息息相关。

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 16-5-2006 04:47 PM 发表

4(m-1)(m-4)<0是可以直接simplify成(m-1)(m-4)<0的。
你所谓的画图是garis nombor吗？其实不画图是可以知道range的。
ax^2 + bx + c = 0
若a > 0 ,graf会是U shape的。你可以想象一个U shape的grap ...

霍米兰兄弟，我对 mathematica 还不够熟悉，就连刚刚的 graph 要农大也不会弄。至于 number line 等我学会如何画先就可以post 上来了........

tayks88

原帖由 menglee 于 16-5-2006 02:55 PM 发表
参考书里的几个问题不会做，想请大家帮帮忙：

1. Find the range of value of x for which 2x^2-6x+5 lies between 1 and 25.

2. Find the range of values of m for which y=m(x^2-1) +4x+5 is always pos ...

这是我的做法，请参考：


第一题我就不是很明白问法，因为我考SPM时是用BM的。
请问谁可以翻译成BM？

[ 本帖最后由 tayks88 于 18-5-2006 12:50 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

1. Find the range of value of x for which 2x^2-6x+5 lies between 1 and 25.

国语版：

Cari julat nilai bagi x supaya 2x^2-6x+5 sentiasa berada di antara 1 dan 25 .

無聊人

原帖由 tayks88 于 18-5-2006 12:46 AM 发表


这是我的做法，请参考：


第一题我就不是很明白问法，因为我考SPM时是用BM的 ...

漏了m --> - 5m

其实，如果问题问得比较难些
你就真的要看清楚了
有些values是必须reject的

到了更高程度，你会发现到，画curve来找range of values是不够的

tayks88

原帖由 無聊人 于 18-5-2006 11:47 PM 发表


漏了m --> - 5m

其实，如果问题问得比较难些
你就真的要看清楚了
有些values是必须reject的

到了更高程度，你会发现到，画curve来找range of values是不够的

谢谢你的宝贵意见。