數學題

kuboy1314

大家好！
最近在數學上遇到了瓶頸，希望高手可以幫忙解決問題。先此謝謝

Let Q = Question
Let A = Answer

Q1 : If 2^a = 5^b = 20^c ,express c in terms of a and b .(answer is c = ab/2b+a )
Q2 : If 3(4^h) = 4(2^k) and 9(8^h) = 20(4^k) , show that 2^h = 4/5 .


otherwise,
what's the concept of  "x l x"  or "y l y" and,
what's the meant about"Real number".
Do you know?

peaceboy

Q1 : If 2^a = 5^b = 20^c ,express c in terms of a and b .(answer is c = ab/2b+a )

using log base 2,

log 2^a = log 5^b
a log 2 = b log 5
a = b log 5
log 5 = a/b

log 20^c = log 5^b
c( log 2+ log 2 + log 5 ) = b log 5
c( 2 + a/b) = b (a/b)
c(2b+a)/b = a
c = ab/(2b+a)

Q2 : If 3(4^h) = 4(2^k) and 9(8^h) = 20(4^k) , show that 2^h = 4/5 .

3(2^2h) = 4(2^k) -- 1
(2^k) = (3(2^2h))/4 -- 2
9(2^3h) = 20(2^2k) --3


3/1
3(2^h) = 5(2^k)
            = 5(3(2^2h))/4
2^h/2^2h = 5/4
2^-h = 5/4
2^h = 4/5


http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_symbols
http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number

中文

kuboy1314

peaceboy 发表于 11-4-2015 08:44 AM
Q1 : If 2^a = 5^b = 20^c ,express c in terms of a and b .(answer is c = ab/2b+a )

using log base  ...

解釋得非常清楚！給你個贊
另外，我遇到了新的問題，希望你能再次幫我解決。


Q1： -2 + loga+b (a2-b2) .  [Express each of the following as a single logarithm.]
     A1:  log (a-b)/(a+b) base (a+b)

Q2： If loga P = m and logb P = n ,show that Logab P =mn/m+n

Q3： If X^2 + Y^2 = 34xy ,show that lg(x+y)/6  =  (lg x + lg y)/2  (Notice ： 书上写34，我怀疑是36...你怎么看?）

Q4： Show that A^logc b  = b^logc a


乱七八糟的...可能看不懂

YetSin

kuboy1314 发表于 11-4-2015 02:59 PM
解釋得非常清楚！給你個贊
另外，我遇到了新的問題，希望你能再次幫我解決。

1) -2 + log_(a+b) (a^2-b^2)
=-2 + log_(a+b) [(a-b)(a+b)]
=-2 + log_(a+b) (a-b) + log_(a+b) (a+b)
=-2 + log_(a+b) (a-b) + 1
=-1 + log_(a+b) (a-b)
=log_(a+b) [1/(a+b)] + log_(a+b) (a-b)
=log_(a+b) [(a-b)/(a+b)]

2) a^m=p
b^n=p
p^(1/m)=a
p^(1/n)=b
p^[(1/m)+(1/n)] = ab
p^[(m+n)/mn]=ab
p=(ab)^[(mn)/(m+n)]
log_ab p = mn/(m+n)

另一个方法：
log_p a = 1/m
log_p b = 1/n
log_p ab = 1/m+1/n = (m+n)/mn
log_ab p = mn/(m+n)

3) x^2+y^2=34xy
x^2+2xy+y^2=36xy
(x+y)^2=36xy
2 log(x+y) = log (36xy)
2 log(x+y) = log 36 + log x + log y
log (x+y) = log 6 + (log x + log y)/2
log (x+y)- log 6 = (log x + log y)/2
log [(x+y)/6] = (log x + log y)/2

4) a^(log_c (b))
= a^[(log_a b)/(log_a c)]
=b^[1/(log_a c)]
=b^[log_c a]

下次放多几个bracket吧，你的log (xy)/6 可以看成 (log xy)/6， 也可以看成 log (xy/6)

peaceboy

Q1： -2 + loga+b (a2-b2) .  [Express each of the following as a single logarithm.]
     A1:  log (a-b)/(a+b) base (a+b)

all log base a+b
-2 + log (a2-b2) = -2 log  (a+b) + log (a+b)(a -b)
                                 =  -2 log  (a+b) + log (a+b)  + log (a-b)
                                 = log (a-b) - log (a+b)
                                 =  log (a-b)/(a+b)

Q2： If loga P = m and logb P = n ,show that Logab P =mn/m+n

loga P = m
logb P = n

loga P * logb P = mn  
logab P/ log ab a * logab P/ logab b = mn
(logab P * logab P) / (logab a * logab b) = mn  --- 1

loga P + logb P = m+n
logab P/ log ab a + logab P/ logab b = m+n
(logab P * logab b) / (logab a* logab b) + (logab P* logab a)/(logab a* logab b) = m+n
(logab P * (logab b + logab a)  / (logab a* logab b) = m+n
(logab P * logab ab)  / (logab a* logab b) = m+n
(logab P  / (logab a* logab b) = m+n -- 2

1/2
logab P =  mn / m+n
酱好像有一点犯规but懒惰想起他方法



Q3： If X^2 + Y^2 = 34xy ,show that lg(x+y)/6  =  (lg x + lg y)/2  (Notice ： 书上写34，我怀疑是36...你怎么看?）

X^2 + Y^2 = 34xy
(x+y)^2 - 2xy = 34xy
(x+y) ^2 = 36xy
(x+y) ^2 = xy6^2
((x+y)/6)^2 = xy
2(lg(x+y)/6)  =  (lg x + lg y)
lg(x+y)/6  =  (lg x + lg y)/2

Q4： Show that A^logc b  = b^logc a

a^logc b = y
logc a^logc b = logc y
logc b * logc a = logc y
logc a *  logc b = logc y
logc b^ logc a = logc y
b^ logc a = y = a^logc b

kuboy1314

YetSin 发表于 11-4-2015 10:56 PM
1) -2 + log_(a+b) (a^2-b^2)
=-2 + log_(a+b) [(a-b)(a+b)]
=-2 + log_(a+b) (a-b) + log_(a+b) (a+b) ...

完美解決我的問題，解釋得相當好，給妳個Like（笑）
另外，我又遇到了新問題，希望妳能幫忙解決。


Q1 ： Solve each of the following equations.
      (a) log_2 x + log_4 (4x) = -2               (Ans = 1/8)
      (b) 3log_8 (2x+14) - 4log_16 (x+1) = 3               (Ans = 1)
      (c) log_2 (1+x) - log_4 (9/4)^2 = 2 - log_8 (5-x)^3               (Ans = 2)

Q2 ： Solve the equation In y = 3 + In (y-2),stating your answer correct to 3 significant figures.               (Ans = 2.10)


Q3 ： Solve each of the following inequalities.
      (a)3^x+2 < 5^x-1               (x > 7.45)
      (b)8^x+1 > 3^x+1 · 5^x              (x < 1.56)

其實Q3的做法不是問題，問題在於箭頭的方向不對。能夠教我怎樣看箭頭的方向嗎

kuboy1314

peaceboy 发表于 11-4-2015 11:15 PM
Q1： -2 + loga+b (a2-b2) .  [Express each of the following as a single logarithm.]
     A1:  log (a ...

你的方法很有意思
問題解決了
可是，我還有新的問題要請教你
請看樓上的帖子

YetSin

kuboy1314 发表于 12-4-2015 10:55 PM
完美解決我的問題，解釋得相當好，給妳個Like（笑）
另外，我又遇到了新問題，希望妳能幫忙解決。{:poli ...

1)a) 你题目/答案打错了吧，把1/8sub 进去，得到 -3 +（-1/2） = -3.5
log_2 x + log_4 4x = -2
log_2 x + log_4 4x
= log_2 x + log_2 4x / log_2 4
= log_2 x + 1/2 (log_2 4 + log_2 x)
= log_2 x + 1+ 1/2 log_2 x
=1.5 log_2 x + 1 = -2
1.5 log_2 x = -3
log_2 x = -2
x = 1/4
b) 3 log_8 (2x+14) - 4 log_16 (x+1) = 3
3 (log_2 (2x+14) / log_2 8) - 4 (log_2 (x+1)/log_2 16) = 3
log_2 (2x+14) - log_2 (x+1) = 3
log_2 (2x+14)/(x+1) = 3
(2x+14)/(x+1) = 8
2x+14 = 8x+8
6x = 6
x = 1
c) log_2 (1+x) - log_4 (9/4)^2 = 2 - log_8 (5-x)^3
log_2 (1+x) + log_8 (5-x)^3 - log_4 (9/4)^2 = 2
log_2 (1+x) + 3 log_2 (5-x)/ log_2 8 - 2 log_2 (9/4) / log_2 4 = 2
log_2 (1+x) + log_2 (5-x) - log_2 (9/4) = 2
4/9 (1+x)(5-x) = 2^2 = 4
(1+x)(5-x) = 9
5+4x-x^2=9
x^2-4x+4=0
(x-2)^2=0
x=2
2) ln y  = 3+ ln(y-2)
ln y - ln (y-2) = 3
ln y/(y-2) = 3
y/(y-2) = e^3
1+ 2/(y-2) = e^3
2/(y-2)=e^3 - 1
y-2 = 2/(e^3 - 1)
y = 2 + 2/(e^3 - 1)
   =2.10479...
   =2.10 (3 s.f.)^

3)
a) 3^x+2 < 5^x-1
ln (5^(x-1)) > ln (3^(x+2))
(x-1) (ln5) > (x+2) (ln3)
(x-1) > (x+2) (log_5 3)
x - (log_5 3)(x) > 1+2log_5 3
x (1-log_5 3) >1+2log_5 3
x >7.45
b) 8^x+1 > 3^x+1 · 5^x
log (8^(x+1)) > log (3^(x+1))(5^x)
(x+1) log 8 > (x+1) log 3 + x log 5
x (log8 - log3 - log5) > log3 - log8
x < (log3 - log8)/(log8-log3-log5) = 1.56
x < 1.56

请看 a and b，为何我在a没有换方向，可是在b却换了呢？原因很简单，在a，我最后移过去的是 1- log_5 3，大过0，所以不用换；在b，我最后移过去的是log8-log3-log5，小过0，所以要换。简单的说，就是把negative丢去对面（乘/除），inequality sign 就要换，要不然没有必要换。所以，其实照常做就好，注意一下把东西丢去对面除时是negative的就要换方向就对了。

kuboy1314

YetSin 发表于 13-4-2015 01:13 PM
1)a) 你题目/答案打错了吧，把1/8sub 进去，得到 -3 +（-1/2） = -3.5
log_2 x + log_4 4x = -2
log_2 ...

紅色字的句子，我不是很明白怎樣形成，請妳說明一下。

2) ln y  = 3+ ln(y-2)
ln y - ln (y-2) = 3
ln y/(y-2) = 3
y/(y-2) = e^3          （怎樣形成下面的句子?）
1+ 2/(y-2) = e^3
2/(y-2)=e^3 - 1
y-2 = 2/(e^3 - 1)
y = 2 + 2/(e^3 - 1)
   =2.10479...
   =2.10 (3 s.f.)^

YetSin

kuboy1314 发表于 13-4-2015 06:43 PM
紅色字的句子，我不是很明白怎樣形成，請妳說明一下。

2) ln y  = 3+ ln(y-2)

y/(y-2)
= [(y-2)+2]/(y-2)
= (y-2)/(y-2) + 2/(y-2)
= 1 + 2/(y-2)

kuboy1314

YetSin 发表于 13-4-2015 06:59 PM
y/(y-2)
= [(y-2)+2]/(y-2)
= (y-2)/(y-2) + 2/(y-2)

不明白，
為什麼 y = (y-2)+2

peaceboy

kuboy1314 发表于 13-4-2015 07:44 PM
不明白，
為什麼 y = (y-2)+2

y - 2 + 2 = y + 0 = y

开学了么？酱勤劳自修？

kuboy1314

peaceboy 发表于 13-4-2015 08:50 PM
y - 2 + 2 = y + 0 = y

开学了么？酱勤劳自修？

原來還可以這樣做，明白了。

這樣也看得出來，你真厲害！（笑）

對我來說log有點難度，你的數學很好，是STPM學生嗎?

peaceboy

kuboy1314 发表于 13-4-2015 09:12 PM
原來還可以這樣做，明白了。

這樣也看得出來，你真厲害！（笑）

我都大学快毕业鸟.....

kuboy1314

peaceboy 发表于 13-4-2015 10:47 PM
我都大学快毕业鸟.....

對啦 厲害啦（笑）
之後遇到的數學難題，希望你也能幫忙解決。

kuboy1314

peaceboy 发表于 13-4-2015 10:47 PM
我都大学快毕业鸟.....

這幾道數學題
有點不好意思（問題太多）（笑）
π = 3.142

Q1： y =  4 cos(x - π/3)     [sketch，for 0 ≤ x ≤ 2π]  ———我想知道怎樣計算y，比如when x = 0

Q2： Given that x is an acute angle and sec x = k , express each of the following trigonometric ratios in terms of k .
(a)  sin (-x)               ans is  -(k^2 - 1)^1/2 / k)
(b)  csc (-x)               ans is  -k(k^2 -1)^1/2 / (k^2 - 1)

peaceboy

kuboy1314 发表于 16-4-2015 02:05 AM
這幾道數學題
有點不好意思（問題太多）（笑）
π = 3.142

Q1： y =  4 cos(x - π/3)     [sketch，for 0 ≤ x ≤ 2π]  ———我想知道怎樣計算y，比如when x = 0

首先你要懂cos 的 graph张什么样子
y= cos x , y max =1, min = -1
y = 4cos x, y max =4 , min = -4
然后pi = 180, pi/3 = 60

x=0, y = 4 (cos( -60)) = 4(1/2) = 2
然后就sketech



Q2： Given that x is an acute angle and sec x = k , express each of the following trigonometric ratios in terms of k .
(a)  sin (-x)               ans is  -(k^2 - 1)^1/2 / k)



sin^2 x + cos^2 x = 1
sin x =  (1- cos^2 x)^(1/2)
        = (1 - 1/sec^2 x)^(1/2)
         = (1 -1/k^2)^(1/2)
          =( (K^2 - 1)/k^2 ) ^ (1/2)
          =(k^2 - 1)^(1/2)/ k)
sin -x = - sin x
          = - (k^2 - 1)^(1/2)/ k)


(b)  csc (-x)               ans is  -k(k^2 -1)^1/2 / (k^2 - 1)

cosec -x = 1/ sin -x
              = - 1/ sin x
              = - 1 /  [(k^2 - 1)^(1/2)/ k]  << from a,
              = -  k / (k^2 - 1)^(1/2)
              = - k  (k^2 - 1)^(1/2) /  (k^2 - 1)  <<< multiply  (k^2 - 1)^(1/2) / (k^2 - 1)^(1/2)

tag @YetSin 很多时候做工回来懒惰解

peaceboy

kuboy1314 发表于 16-4-2015 02:05 AM
這幾道數學題
有點不好意思（問題太多）（笑）
π = 3.142

点击查看 y = 4 cos (x - pi/3) 图
http://www.wolframalpha.com/inpu ... 28x%20-%20pi%2F3%29

YetSin

1）其实，现在画一个cos的wave加一个横线在中间（X-axis)
然后就是找y-axis的地方。在60度是，y=4 cos 0 = 4，也就是最高点。0度的地方就是最高点的前60度。然后小心label就好。

2)
a)
sin (-x) = - sin (x)
            = - \sqrt (1-cos^2 (x))
            = - \sqrt (1- 1/k^2)
            = - (\sqrt (k^2-1)) / k
b)
csc (-x) = 1/ sin(-x)
            = -k / \sqrt (k^2-1)  （从2a拿来的result，这个技巧在考试很重要，省很多时间啊）
            = -k \sqrt(k^2-1)/(k^2-1)    (乘 (k^2-1)/k^2-1) 就可以了）

kuboy1314

peaceboy 发表于 16-4-2015 09:22 PM
Q1： y =  4 cos(x - π/3)     [sketch，for 0 ≤ x ≤ 2π]  ———我想知道怎樣計算y，比如when x = ...

看看2（b）
假設我在不知道答案的情況下，我想我的答案會是 -  k / (k^2 - 1)^(1/2) ，肯定不會想到還要multiply （k^2 - 1)^1/2 / (k^2 -1)^1/2
如果你在這個情況下，還會multiply嗎..? Why

另外
sin (-x) = -sin x
cos (-x) = cos x
tan (-x) = - tan x

為什麼cos是positive ，什麼情況下是negative..?





話說回來，你好像非常了解yetsin這位朋友（告訴我male or female，讓我也了解了解她）哈哈