初中数学训练题库

pipi

经灰羊及 yaahoo网友建议，我觉得我也该整理整理一下之前数学训练的题目，因为那确实让人看得眼花撩乱。。。

以下的每一张贴都是网友们的贡献，我只是将它们弄得＂好看＂些

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:38 PM ]

pipi

16/08/2004，星期一
初中(A1) 不可用计算机，找出下列的值：
        (16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)   （已解）
        （答案：-9999999）
        （解对者：無聊人，强，chwk87）

解法（一）
(16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)
=(16082004)(26082003+1) - (16082004+1)(26082003)
=(16082004)(26082003)+(16082004) - (16082004)(26082003)-(26082003)
=16082004-26082003
=-9999999



解法（二）
设 x = 16082004
   y = 26082003
那么那问题便可写成
  x(y+1) - (x+1)y
= xy + x - xy - y
= x - y
= -9999999

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:07 PM ]

pipi

17/08/2004，星期二
初中(A2) 若 x^2 + 2x + 3 = 0 。
         求 x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 6x + 3 之值。 （已解）
        （答案：3）
        （解对者：無聊人，chwk87，辉文）

解法（一）
(x^2+2x)=(-3)^2
x^4+4x^3+4X^2=9
x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3 = 9+3x^2+6x+3
x^4+4x^3+7X^2+6x+3 = 3(X^2+2X+3+1)
                    = 3(0+1)
                    = 3

解法（二）
x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 6x + 3
=x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x^3 + 4x^2 + 6x + 3
=x^2(x^2 + 2x + 3) + 2x ( x^2 + 2x + 3) +3
=3

[ Last edited by pipi on 11-10-2004 at 09:31 AM ]

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18/08/2004，星期三
初中(A3) 若 n 为自然数，求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。 （已解）
        （答案：--）
        （解对者：fritlizt，强）

解法（一）
n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 = (2n^3+3(n^2)+n)/2
2n^3+3(n^2)+n 肯定是偶数。 所以只要考虑 2n^3+3(n^2)+n 即可。3（n^2）肯定能被三整除。
只要证 2n^3+n 能被三除即可。

2n^3+n = n(2n^2+1)
有三个condition.
1.n=3k
2.n=3k+1
3.n=3k+2

当n等于3k时。
n(2n^2+1) = 3k(2(3k)^2+1)
能被三除。

当n等于3k+1时。
n(2n^2+1) = （3k+1）(2(3k+1)^2+1)
          = (3k+1)(18k^2+12k+2+1)
          = 3(3k+1)(6k^2+4k+1)
能被三除 。


当n等于3k+2时。
n(2n^2+1) = （3k+2）(2(3k+2)^2+1)
          =  (3k+2)(18k^2+24k + 9)
          = 3(3k+2)(6k^2+8k+3)
能被三除


所以n^3 + 3(n^2)/2 + n/2
能被三除。
给任何n



解法（二）
n^3 + 3(n^2)/2 + n/2
=n/2(2n^2+3n+1)
=n/2(2n+1)(n+1)
=1/8*2n*(2n+2)*(2n+1)

2n*(2n+2)*(2n+1)肯定能给８除，又是三个连续号码。

[ Last edited by pipi on 11-10-2004 at 09:32 AM ]

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23/08/2004，星期一
初中(A4) 不可用计算机（或对数表(sifir)），决定以下的最大值（并说出原因）：
        (a) 6^100　  (b) 5^200　(c) 4^300  (d) 3^400   (e) 2^500 （已解）
        （答案：(d) 3^400）
        （解对者：fritlizt）

解法（一）
6^100 < 9^100 = 3^200
6^100<3^400

1.4^300 = 2^600 = 8^200
2.3^400 = 9^200
3.5^200 = 5^200
4.2^500 = [2^(5/2)]^200

比较  8,9,5,及 2^(5/2)
9 比较大。

所以  3^400  比较大。


解法（二）
6 < 5^2 < 2^5 < 4^3 < 3^4
(6)^100 < (5^2)^100 < (2^5)^100 < (4^3)^100 < (3^4)^100
所以 6^100 < 5^200 < 2^500 < 4^300 < 3^400

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24/08/2004，星期二
初中(A5) 某年的六月份里有三个星期三是奇数，该月的13日是星期几？ （已解）
        （答案：星 期 一 ）
        （解对者：chwk87，快乐）

6月 有 30天 ， 所 以 有 4个 星 期 ， 也 就 是 有 4个 星 期 三。 不 过 只 有  两 个 星 期 三 是 奇 数。  所 以 要 有 多 一 个 星 期 三。 而 这 个 星 期 三 将 会 落 在  剩 下 的 两 天 。因 此 ，6月 1日 或 2日 必 须 是 星 期 三，  以 便 有 5个 星 期 三 。由 于 星 期 三 是 奇 数，  所 以 6月 1日 必 须 是 星 期 三。 因 此 8日 ， 15日 也 是
星 期 三。 15日 再 减 两 日 就 是 星 期 一 。

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25/08/2004，星期三
初中(A6) 若 x/(a-b) = y/(b-c) = z/(c-a)，求 x + y + z 。 （已解）
        （答案：0）
        （解对者：chwk87，快乐）

解法（一）
设 x/(a-b) = y/(b-c) = z/(c-a)=k

so, x=k(a-b)
    y=k(b-c)
    z=k(c-a)

x+y+z =ak-bk+bk-ck+ck-ak
      =0


解法（二）
x=y(a-b)/(b-c)
z=y(c-a)/(b-c)

x+y+z = y(a-b)/(b-c) + y + y(c-a)/(b-c)=0

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30/08/2004，星期一
初中(A7) 设 a 为 x^2 + x + 1 = 0 的其中一个解。
         求 1/(1-a) + 1/(1- a^2) 。 （已解）
        （答案：1）
        （解对者：sinchee）

因为a 为 x^2 + x + 1 = 0 的解，
所以a^2 + a + 1 = 0，
  即1 - a^2 = 2 + a ，
则1/(1-a) + 1/(1- a^2) = (2 + a)/(1 - a^2)
                       = 1

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31/08/2004，星期二
初中(A8) 不可用计算机，找出下列的值：
         99999 * 77778  +  33333 * 66666  。 （已解）
        （答案：9999900000）
        （解对者：sooshi，止战之殇）

解法（一）
设：33333＝a

=3a(2a+11111+1)+a(2a)
=6a^2+a^2+3a+2a^2
=9a^2+3a
=3a(3a+1)
=99999(99999+1)
=99999(100000)
=9999900000


解法（二）
设 x = 11111
99999 = 9x
33333 = 3x
77778 = 7x+1
66666 = 6x
99999 * 77778  +  33333 * 66666  
= (9x)*(7x+1) + (3x)*(6x)
= 63x^2 + 9x + 18x^2
= 81x^2 + 9x
= 9x*(9x + 1)
= 99999*(99999 + 1)
= 99999*100000
= 9999900000


解法（三）
  99999 * 77778  +  33333 * 66666  
= 99999 (77778 + 22222)
= 99999 (100000)
= 9999900000

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1/09/2004，星期三
初中(A9) 若 x < 0, x - 1/x = 1 。 求 x + 1/x 之值。 （已解）
        （答案：- sqrt(5)）
        （解对者：sinchee）

x - 1/x = 1
(x - 1/x)^2 = 1
x^2 - 2 + 1/x^2 = 1       [展开]
x^2 + 2 + 1/x^2 = 5      [两边加4]
(x + 1/x)^2 = 5           [因式分解]
(x + 1/x) = ±sqrt(5)
因为x < 0,
所以(x + 1/x) = - sqrt(5)

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6/09/2004，星期一
初中(A10) 在 3 点与 4 点之间，时钟的长针和短针重合的时间是多少？ （已解）
         （答案：3点16分21.8秒）
         （解对者：jolin~yo~yo，强，sinchee）

解法（一）
从三点算起~~~
长针每转一圈=360度
那长针转一度时，短针转30/360度
那就是（1/12）度~~~

在三点时~~~短针已在九十度！！
长针在零度！！

也就是说，当长针转一度时，短针就专（1/12）度！！
长针------ A=0, D=1
短针------ A=90， D=（1/12）

当他们重合时=〉长针的 A+(n-1)（D）= 短针的 A+(n-1)(D)
  0+(n-1)(1)=90+(n-1)(1/12)
  n-1=90+(1/12)n-(1/12)
  n-(1/12)n=90-(1/12)+1
  (11/12)n=(1091/12)
       n=(1091/12)/(11/12)
       n=(1091/11)
那他们重合的时候是代入n
   长针---T(1091/11)=A+(n-1)(D)
                    =0+[(1091/11)-1]*1
                    =1080/11

   短针---T(1091/11)=A+(n-1)(D)
                    =90+[(1091/11-10]*(1/12)
                    =90+(90/11)
                    =1080/11

证实它们重合的度数是(1080/11)度~~

平常算法~~~每走三十度=六十分钟
                 一度=两分钟

那就是说它们重合时间= (1080/11)度*两分钟
                    = (2160/11)分钟
                    = (2160/11)分钟/六十
                    =  三又十一分之三小时
                    =  3小时(十一分之三)*60
                    =  3小时16.36363636分钟
                    =  3小时16分钟21.8181816秒



解法（二）
三点正

长针与短针相差90度

长针转360度，短针转30度。

长针转1度，短针转30/360度。

设长针转x度。
x=x（30/360）+90

x=90*360/330=98.181818

所以重逢时间是３点又１6分21.8秒。。。



解法（三）
繞一圈﹐长针和短针共重合11次。
12小時 / 11 = 1小時5分27秒
所以﹐每轉1小時5分27秒長短針就重和一次。
如果第一次重合在12點正﹐則在 3 点与 4 点之间的重合為第三次重合。
即轉了 1小時5分27秒 * 3 = 3小時16分22秒。

pipi

7/09/2004，星期二
初中(A11) 试证：三个连续奇数的平方和 加上 1，不能被 24 整除。 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：chwk87，flyingfish）

解法（一）
(2n-1)^2+(2n+1)^2+(2n+3)^2+1
=(4n^2-4n+1 )+(4n^2+4n+1)+(4n^2+12n+9)+1
=12n^2+12n+12
=12(n^2+n+1)

已 知 12不 可 被 24整 除 ， 不 管 n = 什 么 号 码 ， n^2+n+1 一 定 是 奇 数 。
所 以 12乘 以 奇 数 肯 定 不 可 以 被 24整 除。


解法（二）
  (2x+1)^2+(2x+3)^2+(2x+5)^2+1
= (4x^2+4x+1 )+(4x^2+12x+9)+(4x^2+20x+25)+1
= 12x^2+36x+36
= 12(x^2+3x+3)
= 12 [(x+1)(x+2)+1]

加上这招就能解释:
n连续数的乘积能给n ! 整除..
(x+1)(x+2)能给2整除.
[(x+1)(x+2)+1]不能给2整除.

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:14 PM ]

pipi

8/09/2004，星期三
初中(A12) 把 10^4 - 4 计算出来的号码（即 10000 - 4 = 9996）的每个数字（即 9,9,9,6）加起来，可得 9+9+9+6=33。
          那么把 10^809 - 809 计算出来的号码的每个数字加起来又是多少呢？ （已解）
         （答案：7265）
         （解对者：ANNIE^_^LIM）

10^809 有 810個數字.
當10^809-809時只有809個數字。

10^809-809的前面是999999999....,806個9
而後面三個數字是191,因為：
1000-809=191

所以
9*806 + 1+9+1 = 7265

答案是7265

pipi

13/09/2004，星期一
初中(A13) 若 abc = 1, 求证： 1/(ab+a+1) + 1/(bc+b+1) + 1/(ac+c+1) = 1 （已解）
         （答案：--）
         （解对者：止战之殇，430201）

解法（一）
abc = 1 ==> ab = 1/c , bc = 1/a , b =1/ac

1/(ab+a+1) + 1/(bc+b+1) + 1/(ac+c+1)
=1/[(1/c)+a+1] + 1/[(1/a)+(1/ac)+1] + 1/[ac+c+1]
=1/[(1+ac+c)/c] + 1/[(c+1+ac)/ac] + 1/[ac+c+1]
=c/[1+ac+c] + ac/[1+ac+c] + 1/[1+ac+c]
=[1+ac+c]/[1+ac+c]
=1

解法（二）
  1/(ab+a+1) + 1/(bc+b+1) + 1/(ac+c+1)
＝1/(ab+a+1) + a/(abc+ab+a) +ab/(abac+abc+ab)
＝1/(ab+a+1) + a/(1+ab+a) + ab/(a+1+ab)（∵abc = 1）
＝(ab+a+1)/ (ab+a+1)
＝1

[ Last edited by pipi on 21-10-2004 at 11:43 PM ]

pipi

14/09/2004，星期二
初中(A14) 某场戏剧的入门票为成人 RM30，学生 RM15。
          这戏剧是在拥有 600 张座位的礼堂举行。
          当局共卖出价值 RM15000 的入门票。
          已知仍有一些座位空置，那么学生的人数最多为＿＿＿。 （已解）
         （答案：198）
         （解对者：sinchee ）

假设 X=成人的数量，Y=学生的数量
30X + 15Y = RM 15，000
2X + Y = 1，000
X = 500 - Y/2.......(1)

X + Y < 600 ........(2) (因为位子还有空缺)
用(1)代入(2)
500 - Y/2 + Y < 600
Y/2 < 100
Y < 200

但当 Y = 199 时，
X = 500 - Y/2  不是整数，不合题意。
所以 Y = 198

所以学生最多的人数是199位！！！

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 10:17 AM ]

pipi

15/09/2004，星期三
初中(A15) OX 及 OY 是圆 O 的半径。
          XMY 是以 XY 为直径的半圆。
          如图所示， T，S，C 分别为各个部分的面积。
          那么 T:C 之比为＿＿＿。
          （已解）
         （答案：1:1）
         （解对者：chwk87）

设OX = OY = j,
T= j^2 / 2  
T + S=(πj^2) / 4
    S=(πj^2) / 4-j^2 / 2  
     =( πj^2-2j^2)/4
XY  = √ (j^2 + j^2)
    = √(2 j^2)
半圆形的半径 = √(2 j^2) / 2
S+C = [√(2 j^2) / 2]^2 x π x 1/2
             = j^2π /4
   C=j^2π /4 -(πj^2-2j^2)/4
    =j^2 / 2
so,T:C=j^2 / 2  :  j^2 / 2
      =1:1

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 10:19 AM ]

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20/09/2004，星期一
初中(A16) 不可用计算机，求 x:
          x / 1200905200904  =  1160804 / 1200904 （已解）
         （答案：1160805160804）
         （解对者：止战之殇）

x / 1200905200904  =  1160804 / 1200904
x = (1160804 / 1200904) * 1200905200904
  = (1160804 / 1200904) * (1200904)(1000001)
  = 1160804 * (1000000 + 1)
  = (1160804 * 1000000) + 1160804
  = 1160804000000 + 1160804  
  = 1160805160804

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:40 AM ]

pipi

21/09/2004，星期二
初中(A17) A 是含有 21 数字的偶数。
          已知 A 是完全平方数，及 A 的十位数为 6。
          那么 A 的个位数则为＿＿。 （已解）
          （答案：4）
          （解对者：sinchee）

设A = x^2。
如果A 是偶数，则x 也是偶数。
如果A 的十位数为偶数，则x 的个位数字一定是2 或8。
不管x 的个位数字是2 或8，A 的个位数字必为 4 。

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:43 AM ]

pipi

22/09/2004，星期三
初中(A18) 若实数 a,b 满?0 < a < b 和 a^2 + b^2 = 6ab,
          那么(a+b)/(a-b) 为 _______。 （已解）
          （答案：-√2）
          （解对者：止战之殇，430201）

解法（一）
a^2 + b^2 = 6ab
(a-b)^2 = 4ab
a-b = - 2√(ab) , 0 < a < b ==> -b < a-b < 0

                                                                              
a^2 + b^2 = 6ab
(a+b)^2 = 8ab
a+b = 2√(2ab) , 0 < a < b

(a+b)/(a-b) = [2√(2ab)]/[- 2√(ab)]
            = - √2


解法（二）
∵0 < a < b
∴a+b＞0，a-b＜0
則(a+b)/(a-b)＜0
又﹝(a+b)/(a-b)﹞^2
  ＝(a^2＋2ab＋b^2)/(a^2－2ab＋b^2)
  ＝(a^2＋2ab＋b^2)/(a^2－2ab＋b^2)
  ＝(6ab＋2ab/(6ab－2ab)
  ＝2（∵ a b≠0）
故(a+b)/(a-b)＝－√2

[ Last edited by pipi on 21-10-2004 at 11:45 PM ]

pipi

27/09/2004，星期一
初中(A19) 不可用计算机，找出下列的值：
         √{5 + √(21)} + √{5 - √(21)}
         （答案以根号(surd form)来表示） （已解）
         （答案：√14）
         （解对者：eeCyang）

{√[5 + √(21)] + √[5 - √(21)]}^2
=[5 + √(21)]+2√[5 + √(21)]√[5 - √(21)]+[5 - √(21)]
=10+2√[25-21]
=14

所以,√{5 + √(21)} + √{5 - √(21)}=√14

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 11:42 AM ]