■ 排列问题 ■

mathlim

mathlim

mathlim

jhwong_alen

原帖由 mathlim 于 1-9-2007 02:52 PM 发表
这几年来，
我协助指导邻近的小学参加奥林匹克数学竞赛。
新加坡政府不只是吸纳优秀的马来西亚中学生，
连小学生都不过。
他们办小六奥林匹克数学竞赛，
成绩优秀的就给亚细安奖学金去新加坡就读。
马来西 ...

哇。。强咯。。把每两个角落的次数相加就等于A到达下个角落的次数。。以此类推就能找到答案了
mathlim原来是教师哦。。那么我有不会的问题就能问你咯l。。。

mathlim

我的程度只到高中。
如果我会的，我很愿意给与指导。
其实大家互相切磋嘛！

mathlim

上图中，我们可以看到公式：
n-1Cr-1 + n-1Cr = nCr

mathlim

五对夫妇围圆桌而坐，问下列条件下各有多少种不同的坐法？
1）每一对夫妇皆须相邻而坐。
2）每一对夫妇皆须相对而坐。
3）任何一对夫妇皆不得相邻而坐。

jhwong_alen

sorrysorry。。我从新写过。。

1。2!x5x4!=240
2。5C3x5C2x5!=12000
3。9!-（第一题的答案-240）=362640

我算到的答案怪怪的。。我觉得错了列。。。
到底要怎样算阿？？

[ 本帖最后由 jhwong_alen 于 8-9-2007 02:03 PM 编辑 ]

mathlim

请把做法列明。
因为同样的一道题，
可以有多种不同的解法。
还要避免的就是，
有时候想法错误，
答案却恰好相等。

mathlim

原帖由 jhwong_alen 于 8-9-2007 01:38 AM 发表
1。2!x5x4!=240
2。5C3x5C2x5!=12000
3。9!-（第一题的答案-240）=362640
我算到的答案怪怪的。。我觉得错了列。。。
到底要怎样算阿？？

三题都错！
我先解第一道题：
五对夫妇，每一对夫妇都须相邻，
所以我们只要考虑夫的排列。
那就是4！ = 24。
夫排定了以后，其妇须与他相邻。
每一对夫妇的位置可以对调，
所以是2^5 = 32。
∴有4！× 2^5 = 768种不同的坐法。

mathlim

第二道题与第一道题极相似！
第三道题，你还是非常需要集合论的概念。

jhwong_alen

那么第二题是不是因为他们夫妇相对坐，所以就用4!,然后因为夫妇也能调换位就再乘上2啊？
那不就也是跟第一题一样。。
4！x2^5=768
还是我想错了。。。？？？

jhwong_alen

第三题是不是要只有一对夫妇是不能相邻而坐的排列次数？？

是将吗？？

9！-（只有一对夫妇相邻而坐）
=9！-（2x8！）
=282240

？？

mathlim

原帖由 jhwong_alen 于 8-9-2007 11:14 PM 发表
那么第二题是不是因为他们夫妇相对坐，所以就用4!,然后因为夫妇也能调换位就再乘上2啊？
那不就也是跟第一题一样。。
4!×2^5=768

基本上是这样，
可是有一点点的不同之处。
你可以先用三对夫妇来研究。
把可能的情况排出来。

mathlim

原帖由 jhwong_alen 于 8-9-2007 11:21 PM 发表
第三题是不是要只有一对夫妇是不能相邻而坐的排列次数？？
是将吗？？
9！-（只有一对夫妇相邻而坐）
=9！-（2x8！）
=282240
？？

你只扣除只有一对夫妇相邻而坐的情况，
那么两对、三对、四对和五对夫妇相邻的呢？

jhwong_alen

是不是将一对夫妇当成marker所以是
4！x2^4=384??

mathlim

原帖由 jhwong_alen 于 9-9-2007 02:19 PM 发表
是不是将一对夫妇当成marker所以是
4！x2^4=384??

没错！你的悟性蛮高的！
现在只剩下第三个问题了。

mathlim

原帖由 mathlim 于 7-9-2007 11:53 PM 发表
五对夫妇围圆桌而坐，问下列条件下各有多少种不同的坐法？
3）任何一对夫妇皆不得相邻而坐。

坐法数
= 全排列数 - 相邻的排列数
= 全排列数 - (1对相邻 - 2对相邻 + 3对相邻 - 4对相邻 + 5对相邻)
= 9! - (5C1×8!×2 - 5C2×7!×2^2 + 5C3×6!×2^3 - 5C4×5!×2^4 + 5C5×4!×2^5)
= 362880 - (403200 - 201600 + 57600 - 9600 + 768)
= 112512

如果有错误的话，请指出，谢谢！
也欢迎提供不同的解法。