比賽題1/2/3

1)從一個有36條棱的凸多面體P，切去以其頂點為頂點的一些棱錐，
得到一個新的凸多面體Q。這些被切去的棱錐的底面所在平面在P
上或內部互不相交，求凸多面體Q的棱數。

2)甲和乙在一個n´n的方格表中做填數遊戲，每次允許在一個方格中
填入數字0或者1（每個方格中只能填入一個數字），由甲先填，
然後輪流填數，直至表格中每個小方格內都填了數。如果每一行
中各數之和都是偶數，則規定為乙獲勝，否則當作甲獲勝。請
問：
(1) 當n＝2006時，誰有必勝的策略？
(2) 對於任意正整數n，回答上述問題。

如果 n 是偶数，那么乙有必胜策略
如果 n 是奇数，那么甲有必胜策略

3)設m是一個小於2006的四位數，已知存在正整數n，使得m－n為質
數，且mn是一個完全平方數，求滿足條件的所有四位數m。

设 m - n = p (prime) , mn = k^2 , 1000 =< m < 2006

=> m(m-p) = k^2

因为 gcd(m,m-p) = gcd(m,p) = p OR 1

case (i) gcd(m,m-p) = 1
那么 m = a^2 , m-p=b^2 ==> p = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

所以 a-b = 1 , a+b = p ==> a = (p+1)/2

1000 =< m = a^2 < 2006  ==> 961 < a^2 < 2025 => 31 < a < 45
得到 61 < p < 89

所以 p = 67 , 71 , 73 , 79 , 83
m = 1156 , 1296 , 1369 , 1600 , 1764

case(ii) gcd(m,m-p) = p
let m = pa^2 , m-p = pb^2 => a^2 - b^2 = 1 => a = 1,b=0 不可能

所以只有　５　副答案

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 14-4-2007 11:34 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

我想问，什么是“棱”？是 vertex(顶点） 还是 side（边长） ?

“棱”是 side（边长）