数学高手请进

chinghua

你们能帮我解这个关于等比数列的题目吗？

求112+111122+...+111...12...2前30项的和？
提示：1=2n个，2=n个

dunwan2tellu

2n 个 1 :=> 11..11 = (10^2n - 1)/9
n 个 2 :=> 22..22 = 2(10^n-1)/9  

每一项 : 10^n(10^2n -1)/9 + 2(10^n-1)/9 = 1/9 * (10^n -1)[ 10^2n + 10^n + 2 ] = 1/9 * [ 10^3n + 10^n - 2]

前 30 项的和

= 1/9 * [ Sum 10^3n + Sum 10^n - Sum 2 ]
= 1/9 * [ 10^3(10^90-1)/(10^3-1) + 10(10^30-1)/(10-1) - 2 x 30 ]

接下来应该是电脑的工作了。。。

chinghua

原帖由 dunwan2tellu 于 14-9-2006 04:53 PM 发表
2n 个 1 :=> 11..11 = (10^2n - 1)/9
n 个 2 :=> 22..22 = 2(10^n-1)/9  

每一项 : 10^n(10^2n -1)/9 + 2(10^n-1)/9 = 1/9 * (10^n -1) = 1/9 *  

前 30 项的和

= 1/9 *
= 1/9 *  

接下来应 ...

能解释清楚一点吗？我看不懂。。。
我的数学很差的。。。
老师说下次会考类似的题目。。可是我几乎都不会。。
有更容易的解法吗？

dunwan2tellu

设 11..11 = k

9k = 99..99

9k + 1 = 100...00 = 10^2n

=> 11..11 = k = (10^2n - 1)/9

chinghua

原帖由 dunwan2tellu 于 14-9-2006 06:44 PM 发表
设 11..11 = k

9k = 99..99

9k + 1 = 100...00 = 10^2n

=> 11..11 = k = (10^2n - 1)/9

能再多说一点吗？只有这个我理解而已。。其他的都不懂。。
我的数学每次都不及格的，所以理解能力不是很好。。   
还有，
i)|2x-3|-3|x+2|=x+3
ii)log[size=-2]2(2x-1)+log[size=-2]3(x+3)=2
这些要怎样解呢?
谢谢

[ 本帖最后由 chinghua 于 14-9-2006 08:48 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

112 + 111122 + ...

= (110 + 111100 + 111111000 + ... ) + ( 2 + 22 + 222 + ...)
= (11 x10 + 1111x10^2 + 111111x10^3 + .. ) + 2(1+11+111+...)
= [(10^2-1)/9 x10 + (10^4-1)/9 x10^2 + (10^6-1)/9 x10^3 + .. ) + 2[(10-1)/9 + (10^2-1)/9 + (10^3-1)/9 + ... ]
= Sum [ (10^2k -1)/9 x 10^k ] + 2 Sum [ (10^k-1)/9 ]   (注意k=1,2,3...,n)

如果嫌复杂，就先设 10^k = y

=> Sum [(y^2-1)/9 x y ] + 2Sum[(y-1)/9]
= Sum [ (y^3-y)/9 + 2(y-1)/9 ]
= Sum [ (y^3 + y - 2)/9 ]
= 1/9 * [ Sum y^3 + Sum y - Sum 2 ]
= 1/9 * [ Sum 10^3k + Sum 10^k - Sum 2]  <---等比数列
.
.
.

dunwan2tellu

i)|2x-3|-3|x+2|=x+3

(i)遇到绝对值，最常用的方法是分 case 讨论。
比如什么时候 |2x-3| = 2x-3 ; 什么时候 |2x-3| = -(2x-3)
有了概念后，就开始分情况讨论
|2x-3| = 0 是当 x = 3/2
|x+2| = 0 是当 x = -2

所以要分成 3 个 case :
(i) x < -2
(ii) -2 =< x =< 3/2
(iii) x > 3/2

情况 (i) : x<-2 所以 |2x-3| = -(2x-3) ; |x+2| = -(x+2) ,带入后解答案。不过必须注意得到的x 是否 <-2 ,否则就无解

ii)log2(2x-1)+log3(x+3)=2

是 log_2 [ 2x-1 ] 还是 log 2(2x-1) = log (4x-2) ??

chinghua

原帖由 dunwan2tellu 于 15-9-2006 12:54 PM 发表
112 + 111122 + ...

= (110 + 111100 + 111111000 + ... ) + ( 2 + 22 + 222 + ...)
= (11 x10 + 1111x10^2 + 111111x10^3 + .. ) + 2(1+11+111+...)
=
= Sum  + 2 Sum    (注意k=1,2,3...,n)

如果嫌复 ...

这是我朋友解的：
=112+111122+111111222+...+111..12..2（因为要求第30项的和，所以最后一项的1=60个；2=30个）
=[111+111111+..+11..1(90个)]+[1+11+111..+11..1(30个)]
=1/9[999+999999+999999999+...+99..(90个)]+1/9[9+99+999+...+99..(30个)
=1/9(10^3+10^6+10^9+...+10^90-30)+1/9(10+10^2+10^3+...+10^30-30)
=1/9[(10^93-10^3)/10^3-1]+1/9[(10^31-10)/10-1]-20/3

是 log_2 [ 2x-1 ] 还是 log 2(2x-1) = log (4x-2) ??

题目错了。。是：log_2(2x-1)+log_2(x+3)=x+3

[ 本帖最后由 chinghua 于 15-9-2006 05:30 PM 编辑 ]

chinghua

(ii) -2 =< x =< 3/2

这个要怎样解呢？
(i)和(iii)的答案是-5/4和7/2对吗？

chinghua

顺便帮我解这些题目：
(1)x^3-2xy^2=3x^2-3xy
   3x^2y-y^3=xy-y^2
(2)xy=2z
   yz=3x
   zx=6y
(3)x+y+xy=1
   y+z+yz=2
   z+x+zx=6
(4)x(y+z)=1
   y(x+z)=2
   z(x+y)=6

[ 本帖最后由 chinghua 于 15-9-2006 09:34 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 chinghua 于 15-9-2006 06:17 PM 发表


这个要怎样解呢？
(i)和(iii)的答案是-5/4和7/2对吗？

你得到答案后带入检查不就行了吗？

当 -2 =< x =< 3/2 时

|2x-3| = -(2x-3)
|x+3| = (x+3)

你可以用一个很容易看的号码来想（比如 x = 0 ，因为她也是在 -2=<x=<3/2里面)，然后就可以知道 |2x-3|是正还是负。

dunwan2tellu

(4)x(y+z)=1
   y(x+z)=2
   z(x+y)=6

设 xy=a , xz = b , yz = c 得到
a + b = 1 ; a + c = 2 ; b + c = 6 ..... 找到 a,b,c 后用 a/b = y/z , c=yz 就能找到 y,z 然后找 x

(3)x+y+xy=1
   y+z+yz=2
   z+x+zx=6

在每一个方程组左右两边加上 1  ==> x+y+xy+1 = 2 ==>(x+1)(y+1) = 2
设 a=x+1 , b=y+1,c=z+1 得到
ab = 2 ; bc = 3 , ac = 7 ....

(2)xy=2z
   yz=3x
   zx=6y

(xy)/(yz) = 2z/3x ==> 3x^2 = 2z^2
之后找 y & z ; x & y 的关系 ...

(1)x^3-2xy^2=3x^2-3xy ....(i)
   3x^2y-y^3=xy-y^2 ......(ii)

当 x = 0 时， (i) : 0 = 0 (成立） ; (ii) : -y^3 = -y^2 => y=0 ,1
当 y=0 时，(ii) : 0 = 0 (成立）; (i) : x^3 = 3x^2 => x = 0,3

当 x,y =/= 0 时，
(i) 乘 x - 3 (ii) 乘 y
.
.
.

chinghua

这些题目怎样解？         
(i)a^3+a^2x+ay+z=0
   b^3+b^2x+by+z=0
   c^3+c^2x+cy+z=0

(ii)x+y+z+w=4
    2x+3y+4z+5w=2
    4x+9y+16z+25w=1
    8x+27y+64z+125w+3

dunwan2tellu

(i)a^3+a^2x+ay+z=0 ....(i)
   b^3+b^2x+by+z=0 ....(ii)
   c^3+c^2x+cy+z=0 ....(iii)

如果是要用a,b,c来表示 x,y,z的话，纯粹用带入法就行了。或者先用高斯消元法也行。

(ii)x+y+z+w=4
    2x+3y+4z+5w=2
    4x+9y+16z+25w=1
    8x+27y+64z+125w+3

做法同样。只不过你必须用高斯消元法把其中两个未知数去处，然后解2元2次方程

chinghua

什么是高斯消元法？

dunwan2tellu

原帖由 chinghua 于 17-9-2006 09:14 PM 发表
什么是高斯消元法？

请参考
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination

晨天

让我接题发挥一下

试证明(4＾x+2)-(2^x+2)+16(2^x)可以被7整除

急~~~~~~

[ 本帖最后由 晨天 于 18-9-2006 08:53 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 晨天 于 18-9-2006 08:07 PM 发表
让我接题发挥一下

试证明(4＾x+2)-(2^x-2)+16(2^x)可以被7整除

急~~~~~~

x = 1 时 =〉6 + 32 = 38 不能被 7 整除

晨天

原帖由 dunwan2tellu 于 18-9-2006 08:09 PM 发表


x = 1 时 =〉6 + 32 = 38 不能被 7 整除

sorry啊我写错问题了
其实是(4＾x+2)-(2^x+2)+16(2^x)
这是jps的考卷问题其一

dunwan2tellu

原帖由 晨天 于 18-9-2006 08:55 PM 发表


sorry啊我写错问题了
其实是(4＾x+2)-(2^x+2)+16(2^x)
这是jps的考卷问题其一

4^(x+2) 还是 4^x + 2 ??

我怎么看都不对劲