比賽題4

老師說：「要在一個三邊長為2，2，2x的三角形內部放置一個盡
可能大的圓，則正實數x的值該是多少？」
學生A說：「我想x＝1。」
學生B說：「我認為x=2^1/2 。」
學生C說：「你們回答都不對！」
他們三人誰的回答是正確的？為什麼？

dunwan2tellu

首先我们知道 0<x<2 ，如果圆形最大的话，他的半径必须最大。也就是说三角形的内心圆的搬进必须是最大。

Area of triangle = x sqrt[4-x^2]
也相等于　= (x+2)r

where r = inradius

=> (x+2)r = x sqrt[4-x^2]
=> r^2 (x+2)^2 = x^2 (4-x^2)
=> r^2 = x^2(4-x^2)/(x+2)^2 = x^2(2-x)/(x+2)

设 f(x) = x^2(2-x)/(x+2) , f'(x)= - 2x(x^2 + 2x -4)/(x+2)

f'(x)= 0 ==> x = 0,-1 + sqrt[5] , -1-sqrt[5]

over 0<x<2 , max[f(x)] = f(-1+sqrt[5])

所以　Ｃ　是对的。

這是初中的題目
請針對初中生可以接受的方法討論
謝謝

要在一個三角形內部放置一個盡可能大的圓，則這個圓即為此三角形的內切圓。

一個三邊長為2，2，2x的三角形的內切圓半徑r為x﹝√(4－x^2) ﹞/(x＋2)

（1）當x＝1，則r＝(3^1/2)/3＝0.5773502-----
（2）當x＝2^1/2，則r＝2－2^1/2＝0.5858865----
（3）當x＝1.1，則r＝1.1﹝√(4－1.21) ﹞/(1.1＋2)＝1.1﹝√(2.79) ﹞/(3.1)
＞1.1×1.67/3.1＝0.5925806----

因為0.5925806---＞0.5858865---＞0.5773502----
故學生C的回答是正確的

dunwan2tellu

原来还可以用计算机.....
原本我还打算找看有没有用“平均不等式”（AM-GM)的方法来做，不过找不到适合的 factor

我是偷懶用了計算機
其實只求到小數第二位即可比較其大小
應該不必用到計算機

dunwan2tellu

不过照那么做的话，我们只是“猜测” x = 1.1 时,可能会得到比较大的半径，如果不是的话岂不变成 B 的话成立