Integration的问题。请帮个忙！！！

ting_006

1. Integral 6x square root of (1-x^2)

Ans:   -2(1-x^2)^1/2 + c


2.Integral 1/(square root of x^2 +1)
Ans:  square root x^2+1 +c




3.Integral sin2x/cos^4x


Ans:  (1/ cos^ 2 x) + c


请帮帮忙，我这几题不会，拜托请帮个忙。
感激不尽!!!!!!

peaceboy

回复 1# ting_006


    sin2x/cos^4x = 2 sin x cos x / cos^4 x
                         =2 sin x / cos^3 x

let u = cos x
du/dx = - sin x
dx =  - du /  sin x

int 2sin x / cos^3 x dx = int (2sin x / cos^3 x) (- du/ sinx)
                                   = - int 2/u^3 du
                                   = - 2 int u^(-3) du
                                   = - 2 u^(-2)(1/(-2)) + c
                                   = u^(-2) + c
                                   = 1/u^2 + c
                                   =  (1/ cos^ 2 x) + c

第一第二题问题有错没有？

ting_006

Thank you!!!Thank you!!!!!^_^

peaceboy

回复 3# ting_006


    1. Integral 6x square root of (1-x^2)

let u = 1 - x^2
du/dx = -2x
dx =  (du/-2x)
     
int 6x  (1-x^2)^(1/2) dx = int 6x (u)^(1/2) (du/-2x)
                                   = int -3u^(1/2) du
                                    = -3 u^(3/2) (1/(3/2)) +c
                                    = -3 u^(3/2) (2/3) +c
                                    = -2 u^(3/2) +c
                                    = -2 (1-x^2)^(3/2) +c




2.Integral 1/(square root of x^2 +1)

let x = tan u
sec^2 u du/dx =1
dx = (sec^2 u) du

tan^2 u + 1 = sec^2 u

int 1/(x^2 +1)^(1/2) dx = int 1/(sec^2 u)^(1/2) (sec^2 u) du
                                    = int sec u du
                                     = ln | sec u + tan u | + c

tan u = x/1
cos u = 1/(x^2 +1)^(1/2)
**draw a triangle with and label the length to get this

ans = ln  | (x^2 +1)^(1/2) + x | + c