美丽数 =)

dunwan2tellu

很久没开贴，心血来潮，发现到一个很有趣的题目

我们称一个4位数的号码（可以开头是0,比如 0123) 为“美丽数”，
当这4位数的前两位数的和以及后两位数的和是相等的
比如 1304 就是一个美丽数因为 1+ 3 = 0 + 4

请问 0000 到 9999 共有多少个美丽数？

寂寞睡不着

don't want to tell you. :p

feifeiyun

对不起。。。
数学不好。。。

懒惰算。。。

megamanx8

有一点像澳洲数学比赛的题目...
现在都朝这个趋势出题啊..

yw46

670 ?????????????

mathlim

我也是算到670。
我把它分四类：
1。四个数字相同。（10个）
2。两对数字相同。（80个）
3。一对数字相同。（180个）
4。没有重复数字。（400个）

yw46

我算的是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10   +
2+3+4+5+6+7+8+9+10+9   +
3+4+5+6+7+8+9+10+9+8   +
......
9+10+9+8+7+6+5+4+3+2   +
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

flash

670。

我的算法是

2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ....9^2) + 10^2 = 670

yw46

一样

dunwan2tellu

三个人用不同方式得到同一个答案，要错也很难了

我很有兴趣看各位的解法，好像 mathlim, yw46 和 flash 都有不同的想法 =)

yw46

前两个号码加起来等于0,后面就有1个排法
前两个号码加起来等于1,后面就有2个排法
.......................
前两个号码加起来等于9,后面就有10个排法
前两个号码加起来等于10,后面就有9个排法
......................
前两个号码加起来等于18,后面就有1个排法

so,
00?? 的时候是1
01?? 的时候是2
....
09?? 的时候是10


10?? 的时候是2
11?? 的时候是3
.....
19?? 的时候是9
........




.................
............
...........
...............



1+2+3+4+5+6+7+8+9+10   +
2+3+4+5+6+7+8+9+10+9   +
3+4+5+6+7+8+9+10+9+8   +
......
9+10+9+8+7+6+5+4+3+2   +
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =
2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ....9^2) + 10^2 = 670



[ 本帖最后由 yw46 于 1-11-2009 05:49 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

看来yw46 和 flash 应该是用相同的思路 =)

我手上有一个方法，可以generalised 到 2n 位数。需要 Inclusive Exclusive Principle

yw46

酱深

dunwan2tellu

没有深，只是用到很有趣的想法

假如那 4 位数的 4 个号码是 a1 a2 a3 a4 ， where 0 =< a1,a2,a3,a4 =< 9

我们要找的是 a1 + a2 = a3 + a4 的方法。

但是我们可以做一些转变让他变成找 a1 + a2 + a3 + a4 = k 的方法，而却又不会影响到原本的题目。

有谁可以看得出？

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 1-11-2009 06:24 PM 编辑 ]

mathlim

我也有用过yw46的方法，但是有一点不一样。
前两个号码之和为0，有1种选择，后两个号码也是有1中选择，所以有1&sup2;种。
前两个号码之和为1，有2种选择，后两个号码也是有2中选择，所以有2&sup2;种。
前两个号码之和为2，有3种选择，后两个号码也是有3中选择，所以有3&sup2;种。
... ...
... ...
前两个号码之和为8，有9种选择，后两个号码也是有9中选择，所以有9&sup2;种。
前两个号码之和为9，有10种选择，后两个号码也是有10中选择，所以有10&sup2;种。
前两个号码之和为10，有9种选择，后两个号码也是有9中选择，所以有9&sup2;种。
... ...
... ...
前两个号码之和为17，有2种选择，后两个号码也是有2中选择，所以有2&sup2;种。
前两个号码之和为18，有1种选择，后两个号码也是有1中选择，所以有1&sup2;种。

∴ 总共有 2×( 1&sup2; + 2&sup2; + 3&sup2; + ... ... + 9&sup2; ) + 10&sup2; = 670 种。

至于dunwan2tellu说的方法尚待研究。。。

flash

原帖由 mathlim 于 2-11-2009 09:28 AM 发表
我也有用过yw46的方法，但是有一点不一样。
前两个号码之和为0，有1种选择，后两个号码也是有1中选择，所以有1&sup2;种。
前两个号码之和为1，有2种选择，后两个号码也是有2中选择，所以有2&sup2;种。
前两个号码 ...

这个就像我所想的。。。。。。。。

yw46

版主的太深了

dunwan2tellu

提示：

比如我们要找有几个 2位数 x y where x,y 都是 even number.
我们可以把它转换成找2 位数 a b where 0 =< a,b =< 4 , 结果是同样的
这里，我们用了一种mapping   x --> x/2 = a ; y --> y/2 = b
而这种mapping是one to one 的。

所以只要能找到一种 one to one 的方式 map 成另一个题目，就可以转变上面的题目了。

提示2： 确保这 mapping 的domain 和 range 一样 =)

mathlim

前两个数字之和为n的有 n+1C1 = n+1 种。0 ≤ n ≤ 9
前两个数字之和为 18-n 的也是有 18-nC1 = 18-n 种。0 ≤ n ≤ 9
为什么呢？
比如 a + b = 12，可用 (9-a) + (9-b) = 6 来作一一对应。

abcdef (a + b + c = d + e + f) 的情况如下：
前三个数字之和为 0 的有 1 种。
前三个数字之和为 1 的有 1+2 = 3 种。
前三个数字之和为 2 的有 1+2+3 = 6 种。
…
…
前三个数字之和为 9 的有 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 种。
前三个数字之和为 10 的有 2+3+4+5+6+7+8+9+10+9 = 63 种。
前三个数字之和为 11 的有 3+4+5+6+7+8+9+10+9+8 = 69 种。
前三个数字之和为 12 的有 4+5+6+7+8+9+10+9+8+7 = 73 种。
前三个数字之和为 13 的有 5+6+7+8+9+10+9+8+7+6 = 75 种。
前三个数字之和为 n (14 ≤ n ≤ 27) 的与 27-n 的有一样多种。
比如 a + b + c = 17，可用 (9-a) + (9-b) + (9-c) = 10 来作一一对应。
举例：
为什么前三个数字之和为 11 的有 3+4+5+6+7+8+9+10+9+8 = 69 种。
第一个数字为 9 的，另外两个数字之和为 2 的有 3 种。
第一个数字为 8 的，另外两个数字之和为 3 的有 4 种。
第一个数字为 7 的，另外两个数字之和为 2 的有 5 种。
…
…
第一个数字为 1 的，另外两个数字之和为 10 的有 9 种。
第一个数字为 0 的，另外两个数字之和为 11 的有 8 种。

检验：(1+3+6+… …+55+63+69+73+75)×2 = 1000。

∴6位数的“美丽数”有2×( 1&sup2;+3&sup2;+6&sup2;+… …+73&sup2;+75&sup2; )种。

[ 本帖最后由 mathlim 于 2-11-2009 10:44 PM 编辑 ]

mathlim

我的方法，可以推演到2n位数。（n ≥ 2, n ∈Z+）

[ 本帖最后由 mathlim 于 3-11-2009 10:15 AM 编辑 ]