calculus的问题(新问题）

menglee

请高手帮忙，谢谢。
lim x->∞   (1-x) ln(x/(x-1))

[ 本帖最后由 menglee 于 6-11-2009 11:05 PM 编辑 ]

vR33

图 404 - Not Found

mathlim

menggunakan takrif 的意思是不是用定义？
如果是纯粹用定义，我做不到！
我需要用到L'Hospital's Rule。

[ 本帖最后由 mathlim 于 28-10-2009 10:42 PM 编辑 ]

distantstar

By using definition, f'(1) is equal to the value of  lim(x-->1) (exp(x-1)^2 - 1) / 2(x - 1).
Since (exp(x-1)^2 - 1) / 2(x - 1) ~ ( x-1 )^2 / 2( x-1 ) as x approaches 1, and lim(x-->1) ( x-1 )^2 / 2( x-1 ) = 0,
we have f'(1) = lim(x-->1) (exp(x-1)^2 - 1) / 2(x - 1) = lim(x-->1) ( x-1 )^2 / 2( x-1 ) = 0.

g(x) = f(1/2 x), by chain rule,
g'(x) = 1/2 f'(1/2 x)
Thus, g'(2) = 1/2 f'(1) =0

(h ° g)' (x) = h' (g(x)) g'(x) by chain rule again, so
(h°g)' (2) = h' (g(2)) g'(2) = - 2 * 0 = 0

mathlim

我算到 f'(1) = 1/2。

f'(1) = lim(x→1) (exp(x-1)^2 - 1) / 2(x - 1)^2.

menglee

如果用定义是不是lim(h-->0) ( f(1+h)-f(1) )/h？若果是那样的话只会拿到0啊，因为f(x)=0 at x=1

mathlim

f'(1) = lim(h→0) { [f(1+h) - f(1)] / h }

= lim(h→0) { [(e^h² - 1)/(2h) - 0 ] / h }

= lim(h→0) { (e^h² - 1)/( 2h² ) }

...

...

[ 本帖最后由 mathlim 于 29-10-2009 11:58 AM 编辑 ]

menglee

谢谢，已经做到了。
f'(1) = 1/2。
g'(2)=1/4
g(2)=2f(1)=0
(h°g)' (2) = h' (g(2)) g'(2) =h'(0) g'(2)= - 2(1/4 )= -1/2

mathlim

原帖由 distantstar 于 29-10-2009 06:33 AM 发表
By using definition, f'(1) is equal to the value of  lim(x-->1) (exp(x-1)^2 - 1) / 2(x - 1).
Since (exp(x-1)^2 - 1) / 2(x - 1) ~ ( x-1 )^2 / 2( x-1 ) as x approaches 1, and lim(x-->1) ( x-1 )^2 / 2(  ...

请问这是什么定理？
我没有学过！

mathlim

原帖由 menglee 于 29-10-2009 03:32 PM 发表
谢谢，已经做到了。
f'(1) = 1/2。
g'(2)=1/4
g(2)=2f(1)=0
(h°g)' (2) = h' (g(2)) g'(2) =h'(0) g'(2)= - 2(1/4 )= -1/2

请问你是怎么用定义做到 f'(1) = 1/2 的？

distantstar

原帖由 mathlim 于 29-10-2009 09:04 AM 发表
我算到 f'(1) = 1/2。

f'(1) = lim(x→1) (exp(x-1)^2 - 1) / 2(x - 1)^2.

Ooops.....对对，是少了一个平方。。。。那答案就是1/2....

distantstar

原帖由 mathlim 于 31-10-2009 08:50 AM 发表


请问这是什么定理？
我没有学过！

这是一种equivalence relation,通过这种方法可以绕过洛比答法则，迅速求得某些繁杂的极限。经典的equivalence relation有：

当x趋近于0时：
e^x - 1 ~ x
ln(1+x) ~ x
sinx ~ x
1- cosx ~ x^2 / 2
tanx ~ x
shx ~ x
thx ~ x

example: Find the limit of ln(cosx) / x^2 as x goes to 0:

ln(cosx) = ln(1+cosx -1) ~ cosx - 1 ~ -x^2/2
hence ln(cosx)/ x^2 ~ -x^2/2 / x^2 = -1/2

与洛比达法则相似，在一定条件下，这种方法不能被使用。

dunwan2tellu

应该是用 taylor expansion 后拿partial sum 的前一两项来做 approximation 吧。

distantstar

严格来说，还要确保taylor approximation的其余项迫近于0。对上述函数来说，这是正确的。可是，对一些另类的函数来说，这种approximation就不正确。

menglee

到最后用L' Hopital rule

mathlim

原帖由 menglee 于 2-11-2009 06:09 PM 发表
到最后用L' Hopital rule

那就不符合题目的要求咯！

menglee

问题指的定义应该是lim(h-->0) ( f(1+h)-f(1) )/h吧。
不用L' Hopital rule我真的不会做。

mathlim

应该就是用这个咯！
(exp(x-1)^2 - 1) / 2(x - 1) ~ ( x-1 )^2 / 2( x-1 ) as x approaches 1。

menglee

请高手帮忙，谢谢。
lim x->∞   (1-x) ln(x/(x-1))

dunwan2tellu

lim x->∞   (1-x) ln(x/(x-1))

提示：用 L-hopital rule 看看