国际佳礼数论研究中心（ICNTRC）

DADDY_MUMMY

数论跟其他的数学分支一样，也是从很久很久以前就有了，想了解历史的，请到以下网站。
http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory
数论，数论，数字的理论，也就是说数论是读关于数字的性质之类的。
因为还没开始深入了解，先去这里看看数论的题目是怎样的。
http://cforum2.cari.com.my/viewthread.php?tid=325243&extra=page%3D1%26amp%3Bfilter%3Ddigest
（看看就好,不要吓到 ）
有没有一点点的概念了呢？

其实数论都有接触到prime number（质数），multiples（倍数），perfect squares（平方数？），remainders（余数），digits（数位）等等。
其实数论不恐怖的，我们从小在日常生活中就有接触过，只是我们不懂它的名称而已。
现在我们来做一点热身题吧！我先给个例子：
下列的五个数目中，请选出一个不一样的并简单讲解下。
（1）101，103，105，107，109
105是不一样的因为其他的数字是质数。这里我们可以把positive number（正整数）分成
prime number（质数）和composite number（合成数）
*（1不是指数也不是合成数，能解释为什么吗？）

大家来练习一下，在每一题中，找出其中一个与其它不一样的号码（跟我上面的一样啦！）
（1）1488，2566，3972，4567，5080
（2）2285，5075，6228，7995，9030
（3）123，456，789，2345，6789
（4）13，17，25，39，45
谢谢支持

战神蚩尤

（1）4567
其他都是偶数，除了这个

（2）6228
其他都是5的倍数，除了这个

（3）456
其他都是奇数，除了这个

（4）39
其他都是4的倍数+1，除了这个

[ 本帖最后由 战神蚩尤 于 9-9-2008 07:10 PM 编辑 ]

DADDY_MUMMY

欢迎光临

不错不错，都对了。
其实第四题算是有问题，
因为还有有另一个答案，你有发现吗？

那你知道为什么1不是指数也不是合成数吗？

谢谢光临，下次再来

dunwan2tellu

prime number 有一个基本的特征

如果 p = prime , 以及 a,b = integer

if p | ab  ==> p|a  OR p|b     

这里 p|ab 意思是 p 可以整除 ab . 比如 3 | 12  ,  9 | 72 ....

mathlim

13 = 2² + 3²
17 = 1² + 4²
25 = 3² + 4²
45 = 3² + 6²

39

mathlim

其实随便挑一个号码，
我都可以让它跟其它的号码不一样。

DADDY_MUMMY

来，你show看看

mathlim

（4）13，17，25，39，45

① 13
17 = (21×1 + 11)/2 - [(-1)^1](1 + 1)/2
25 = (21×2 + 11)/2 - [(-1)^2](2 + 1)/2
39 = (21×3 + 11)/2 - [(-1)^3](3 + 1)/2
45 = (21×4 + 11)/2 - [(-1)^4](4 + 1)/2

② 17
13 = (23×1 + 5)/2 + [(-1)^1](5 - 3×1)/2
25 = (23×2 + 5)/2 + [(-1)^2](5 - 3×2)/2
39 = (23×3 + 5)/2 + [(-1)^3](5 - 3×3)/2
45 = (23×4 + 5)/2 + [(-1)^4](5 - 3×4)/2

③ 25
13 = (34×3³ - 150×3² + 80×3 + 270)/6
17 = (34×2³ - 150×2² + 80×2 + 270)/6
39 = (34×1³ - 150×1² + 80×1 + 270)/6
45 = (34×0³ - 150×0² + 80×0 + 270)/6

④ 39
13 = 9 + 4×1
17 = 9 + 4×2
25 = 9 + 4×4
45 = 9 + 4×9

⑤ 45
13 = (1³ + 5×1 + 33)/3
17 = (2³ + 5×2 + 33)/3
25 = (3³ + 5×3 + 33)/3
39 = (4³ + 5×4 + 33)/3

DADDY_MUMMY

天啊！你这样都想到，这样做那份笔记的人可以去跳楼了

DADDY_MUMMY

原帖由 dunwan2tellu 于 10-9-2008 05:35 PM 发表
prime number 有一个基本的特征

如果 p = prime , 以及 a,b = integer

if p | ab  ==> p|a  OR p|b     

这里 p|ab 意思是 p 可以整除 ab . 比如 3 | 12  ,  9 | 72 ....

文接dunwan2tellu的讲解。。。
现在有个疑问，你们认为0|2成立吗？

我们来看看divisibility的性质
*************************************************************************************
Theorem 1.1
Let a, b, c, x, y be integers.
(1) If a|b, then a|xb
(2) If a|b and b|c, then a|c
(3) If a|b and a|c, then a|bx+cy
(4) If a|b, then |a|≤ |b|. In particular, if a|b and b|a, then a = b
*************************************************************************************
如果我们要测试某个号码，R能不能被另一个号码，a整除，我们有些方法。
比如我们要看某个号码能不能被4整除，我们只需要看那号码的最后两个数值能不能被4整除。
拿123456做例子，如果56能被4整除，那123456能被4整除，为什么呢？
123456 = 1234x100+56
既然4|100，4|1234X100 → 4|123456 如果 4|56。
其实不只是4，2阿，8阿，5阿也能用同样的方法。（自己去试试看）
那3呢？我们要看某个号码能不能被3整除，我们只需要看那号码每个数位加起来能不能被3整除。
拿123456做例子，如果1+2+3+4+5+6能被3整除，那123456能被3整除，为什么呢？
这是因为123456

= 1x100000+2x10000+3x1000+4x100+5x10+6
=1x(99999+1)+2x(9999+1)+3x(999+1)+4x(99+1)+5x(9+1)+6
=(1x99999+2x9999+3x999+4x99+5x9)+(1+2+3+4+5+6)
你们自己试试看9和11的
我们都知道如果某个号码能被6整除，那么那个号码也能被2和3整除；
或者某个号码能被12整除，那么那个号码也能被3和4整除。
那我们能不能说
If p|n, q|n, so we can conclude that pq|n. ？


这题你们试试看：
The six-digit number a1989b is divisible by 72. Determine a and b.

mathlim

这不是想到的。
是设计出来的。
如果会害到别人跳楼的话，
我就要删帖了！

DADDY_MUMMY

设计？？
是用了什么原理？
数列？

[ 本帖最后由 DADDY_MUMMY 于 12-9-2008 02:00 AM 编辑 ]

mathlim

方法有很多种，教你其中一种。

设 f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f(1) = 13
f(2) = 17
f(3) = 25
f(4) = 39
即
a + b + c + d = 13 ——(1)
8a + 4b + 2c + d = 17 ——(2)
27a + 9b + 3c + d = 25 ——(3)
64a + 16b + 4c + d = 39 ——(4)
解 (1), (2), (3), (4)。

DADDY_MUMMY

原帖由 DADDY_MUMMY 于 11-9-2008 08:44 PM 发表


文接dunwan2tellu的讲解。。。
现在有个疑问，你们认为0|2成立吗？

我们来看看divisibility的性质
*************************************************************************************
Theorem 1.1 ...

哎呀，生灰尘了
没人来回答吗？
那我来解答吧！
既然那个号码能被72除，那么它也能被8和9除。
如果能被8除，那么它最后3个号码也能被8除，也就是89b能被8除，
那么我们能找到b=6。
如果能被9除，那么它每一个位数加起来也能被9除，
也就是9|a+1+9+8+9+b = a+33
那么我们能得到a=3。

DADDY_MUMMY

G.C.D and L.C.M
我们先看看什么是G.C.D and L.C.M



接下来我们来看看它们的properties。

Property （4）提供了我们一个很简单的方法来计算G.C.D, 也就是

Euclidean algorithm (欧几里得演算法)

我们先看引理

Theory:


[ 本帖最后由 DADDY_MUMMY 于 29-9-2008 01:23 AM 编辑 ]