老黃鋪磚

pipi

老黃家後院有塊地（如右圖），鋪滿了地磚。今年春天由於地磚壞了不少，所以老黃決定全部挖起來，重新鋪上新磚。原來的地磚是正方形的，共用了40塊，如右圖。新地磚是長方形的，一個正好等於原先兩個正方形，於是買了20個。老黃生性小心謹慎，他要確定新地磚能撲滿空地才敢敷上水泥，他試了幾次，發現無論怎麼排，當用了19塊新地磚後，剩下的兩個空格總是連不在一起。由於他不想把最後一塊地磚分成兩小塊，所以非常苦惱。聰明的各位，你們能幫老黃嗎？（如果可排出來，請將排法畫出，如不能，請解釋原因）

强

答案当然是不能啦

试把每一块砖画上黑与红，如图下


    黑  红  黑  红  黑
黑  红  黑  红  黑  红  黑
红  黑  红  黑  红  黑  红
黑  红  黑  红  黑  红  黑
红  黑  红  黑  红  黑  红
黑  红  黑  红  黑  红  黑

发现有２１黑，１９红

所以嘛

pipi

没错！！！

试试这题：
老黃鋪磚延伸題

　　右圖是一個 8×8 的正方格，                  
今欲以 1×3 的長方格來鋪滿它 ，
由於 64﹦3×21＋1，所以最多應
可以鋪上 21 塊長方格，而剩下一格
。請問：

(1)可以鋪上21塊長方格嗎？

(2)如果可以，那剩下的一格會在
哪些位置？試說明原因！

[ Last edited by pipi on 24-5-2004 at 01:56 PM ]

不知道对不对。。。

首先先证明5X5的正方形若以此1X3的砖块填补，必有一空于正中央，且其排法只有一种。再把此5X5正方形放进8X8正方形之中，发现只有把5X5正方形放在8x8正方形的角落，其他的空位才可以被1X3砖块填满，因此，剩下的一格会在以下位置：

pipi

sMIL3 于 24-5-2004 09:22 PM  说 :
不知道对不对。。。

首先先证明5X5的正方形若以此1X3的砖块填补，必有一空于正中央，且其排法只有一种。再把此5X5正方形放进8X8正方形之中，发现只有把5X5正方形放在8x8正方形的角落，其他的空位才可以被1X3砖 ...

厉害！厉害！

pipi

考虑 8 X 8 的棋盘。
(i) 将其中两个对角＂去掉＂。如图：

现在是否能用31个   1×2  的長方格來鋪滿它？？

(ii) 将任意两个不同颜色的格子＂去掉＂，是否能用31个   1×2  的長方格來鋪滿它？？
（若能，如何证明？？若不能，为何？？）

如 强 网友所说的方法，可以得出：
（1）不能
（2）能

pipi

sMIL3 于 26-5-2004 10:33 PM  说 :
如 强 网友所说的方法，可以得出：
（1）不能
（2）能

(1) 容易得到
(2) 没错！但如何证明？？(之前的 arguments 只是说 不同数量的颜色－－－不能。这不代表相同数量的颜色就一定能。)

不好意思，忽略了。

（2）不如我们从另一个角度想：
把正方形的棋盘分割成一条蛇形，其中这条“蛇”的头为白色，尾为黑色，身上的颜色为黑白间隔，黑白色各32格，共64格。其图大概是：

白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑

当我们拿掉其中任何两个不同颜色的格子:

白黑白黑空黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白空白黑白黑白黑

发现永远都可能有一黑配一白，而我们的砖块也是一黑一白的。hence proved。

***如果我们先拿黑的才拿白的，那割发要有所不同了。